זווית היפרבולית – הבדלי גרסאות

יש להבחין שבניגוד לזווית מעגלית, הגודל של זווית היפרבולית אינו חסום, בדיוק כמו הפונקציה [[לוגריתם טבעי|ln x]]. הזווית ההיפרבולית נחשבת שלילית כאשר x בין 0 ל-1.

נניח ש-''ab'' = 1 ו-''cd'' = 1 כאשר ''c'' > ''a'' > 1, כך שהנקודות (''a'', ''b'') ו- (''c'', ''d'') מגדירות אינטרוול על ההיפרבולה ''xy'' = 1. העתקת squeeze משמרת שטח עם אלמנטים מטריציוניים אלכסוניים a ו-b (כלומר עם פרמטר a) ממפה את האינטרוול הזה לאינטרוול בין (1, 1) ל-(''bc'', ''ad''). חשבון שטחים פשוט מראה שהשטח תחת ההיפרבולה באינטרוול זה הוא גם השטח של הגזרה ההיפרבולית המתאימה לנקודות (1, 1) ו-(''bc'', ''ad''). לפי תוצאה של [[גרגואיר דה סנט וינסנט]], לשטח זה תכונות לוגריתמיות.

[[Imageקובץ:Hyperbolic functions-2.svg|thumbממוזער|200px|left|להיפרבולת היחידה יש גזרה עם שטח ששווה למחצית הזווית ההיפרבולית.]]

[[Fileקובץ:HyperbolicAnimation.gif|thumbממוזער|left|זווית מעגלית לעומת זווית היפרבולית.]]

<math> \cos(i x) = \cosh(x) \quad \text{and} \quad \sin(i x) = i \sinh(x)</math>

כך שהפונקציות ההיפרבוליות cosh ו-sinh ניתנות להצגה באמצעות פונקציות מעגליות. הזהויות האלו ניתנות להבנה גם במונחים של [[טור אינסופי|טורים אינסופיים]]. הטור המייצג את [[אקספוננט|הפונקציה האקספוננציאלית]] (<math> e^x = \cosh x + \sinh x\! </math> ) מורכב מאיברים עם חזקות זוגיות ואי זוגיות, כאשר טור החזקות הזוגיות מרכיב את פונקציית הקוסינוס ההיפרבולי (<math>\textstyle\cosh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math>) וטור החזקות האי זוגיות מרכיב את פונקציית הסינוס ההיפרבולי (<math>\textstyle\sinh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>). הטור האינסופי לקוסינוס נגזר מהטור האינסופי לקוסינוס היפרבולי באמצעות הפיכתו ל[[טור אינסופי|טור מתחלף]]. בדרך דומה מתקבל גם הטור ל-sin מהטור ל-sinh, אלא שהפעם החזקות האי זוגיות בטור הופכות למדומות ולכן נדרש הפקטור i.