אי-שוויון המשולש – הבדלי גרסאות

הוסרו 197 בתים ,  לפני 6 שנים
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 8:
 
=== הוכחת פורמלית ===
נוכיח ש-<math>\ |x+y|\leq |x|+|y|</math>. אם <math>\ x,y</math> חיוביים אז <math>\ |x+y|=x+y=|x|+|y|</math>. אם שניהם שליליים, <math>\ |x+y| = -(x+y) = (-x)+(-y) = |x|+|y|</math>. המקרה היחיד שבו יש מה להוכיח הוא כאשר אחד המשתנים חיובי ואחד שלילי. מכיוון ששני האגפים סימטריים, אפשר להניח ש-<math>\ x<0<y</math>, ואז <math>\ |x+y| = \max\{x+y,-x-y\} \leq \max\{y,-x\} < y+(-x) = |y|+|x|</math>.
לפי הגדרת הערך המוחלט מתקיימים שני האי-שוויונות הבאים:<blockquote><math>\ -|x|\leq x \leq |x|</math></blockquote><blockquote><math>\ -|y|\leq y \leq |y|</math></blockquote>נחבר אגפים בהתאמה בין אי-השוויונות הנ"ל. ונקבל:<blockquote><math>\ -|x|-|y|\leq x+y \leq |x|+|y|</math>.</blockquote>על ידי הוצאת מינוס מחוץ לסוגריים באגף השמאלי, מתקבל:<blockquote><math>\ -(|x|+|y|)\leq x+y \leq |x|+|y|</math>.</blockquote>לפי הגדרת הערך המוחלט, ביטוי זה שקול לביטוי המבוקש:<blockquote><math>\ |x+y| \leq |x|+|y|</math>.</blockquote>[[מש"ל]].{{ש}}{{ש}}
 
=== המקרה המרוכב ===