ממוצע אריתמטי-גאומטרי – הבדלי גרסאות

בעוד הקשרים שנמצאו בין הממוצע האריתמטי גאומטרי של מספרים ממשיים לאינטגרלים אליפטיים הוליכו לפתרון כמה מן הבעיות הקשות ב[[אנליזה מתמטית|אנליזה]] של [[המאה ה-18]], חקר הממוצע האריתמטי גאומטרי של זוג מספרים (a,b) מ[[שדה המספרים המרוכבים]] הוליך לכמה מההתפתחויות המעמיקות ביותר במתמטיקה של [[המאה ה-19]]. מסתבר שבעבור שני מספרים מרוכבים, הממוצע האריתמטי גאומטרי הופך ל[[פונקציה רב ערכית]] (Multi-valued function), כלומר לפונקציה שמקבלת אינסוף ערכים עבור כל זוג מספרים שמציבים בה. הסיבה לכך נעוצה בכך שהשורש הריבועי של מכפלת המספרים <math> b_n</math> מקבל שני ערכים בכל פעם, כך שלא מקבלים אפשרות אחת לסדרה <math> (a_n,b_n) </math> אלא דווקא אינסוף הסתעפויות, שמתוכן רק חלק מקבלות ערך שונה מאפס. מתברר שכאשר בוחרים בכל איטרציה בתור ממוצע גאומטרי את הערך הקרוב יותר לממוצע החשבוני (זו הבחירה ה"נכונה", כביכול), זוג הסדרות מתכנס לאותו ערך כמו במקרה הממשי. על ידי ביצוע מספר סופי של "שגיאות" מכוונות בהוצאת השורש, ניתן לקבל ערכים שונים של <math> M(a,b)</math>. מבין הערכים השונים של <math> M(a,b)</math> ניתן להגדיר ערך מסוים כ"פשוט ביותר", והוא הערך שמתקבל כאשר כל הבחירות נכונות. התוצאה העמוקה הבאה של גאוס קובעת את הקשר בין הערך היסודי (הערך הפשוט ביותר) של הממוצע האריתמטי גאומטרי לכל הערכים האפשריים האחרים שלו:

 

<math> M(a + b,a - b)</math> בהתאמה. אז כל הערכים האפשריים <math>\mu'</math> של <math> M(a,b)</math> ניתנים על ידי הנוסחה: