הבדלים בין גרסאות בדף "משולש ישר-זווית"

הוסרו 2,986 בתים ,  לפני שנתיים
אין תקציר עריכה
(ביטול גרסה 20262609 של 95.86.64.68 (שיחה) למה?)
==6==
{{מפנה|יתר|דמות מקראית|יתר הישמעאלי}}
[[קובץ:Rtriangle.svg|שמאל|ממוזער|250px|משולש ישר-זווית]]
'''משולש ישר-זווית''' הוא [[משולש]] בעל [[זווית ישרה]].
 
במשולש זה, שתי ה[[צלע (גאומטריה)|צלע]]ות שכולאות את הזווית הישרה נקראות '''ניצבים''', והצלע שמול הזווית הישרה נקראת '''יתר'''.
 
משולש ישר-זווית הוא הבסיס ל[[פונקציות טריגונומטריות|פונקציות הטריגונומטריות]].
 
==תכונות==
 
* משולש ישר-זווית מקיים את '''[[משפט פיתגורס]]''': סכום ה[[שטח]]ים של [[ריבוע]]ים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר.
* ה[[תיכון (גאומטריה)|תיכון]] ליתר שווה למחצית מהיתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני [[משולש שווה-שוקיים|משולשים שווי-שוקיים]].
* משולש ישר-קעיירא57טאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאװגא67
* משולש ישר-זווית מקיים את [[משפט תאלס#המשפט השני|משפט תאלס]]: אם משולש ישר-זווית [[מעגל חוסם|חסום במעגל]], אז היתר מתלכד עם [[קוטר]] המעגל. התיכון ליתר הוא [[רדיוס]] במעגל החוסם.
אם הניצבים של המשולש הם <math>\ a</math> ו-<math>\ b</math>, היתר הואוא <math>\ c</math> והגובה ליתר הוא <math>\ h</math>, אז מתקיים:
* ה[[גובה (גאומטריה)|גובה]] ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים ה[[דמיון משולשים|דומים]] למשולש המקורי (ולכן גם דומים זה לזה). מכאן נובע [[משפט פיתגורס#אוקלידס|משפט אוקלידס]] - אורך הניצב הוא ה[[ממוצע גאומטרי|ממוצע הגאומטרי]] של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר.
* ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר.
* כל ניצב הוא הגובה של הניצב השני.
* ניצב מול 30 מעלות שווה לחצי היתר. משפט הפוך: אם ניצב שווה חצי יתר - הזווית מול הניצב שווה 30 מעלות.
* [[חוצה זווית|חוצה הזווית]] הישרה חוצה גם את הזווית שבין התיכון לגובה.
אם הניצבים של המשולש הם <math>\ a</math> ו-<math>\ b</math>, היתר הוא <math>\ c</math> והגובה ליתר הוא <math>\ h</math>, אז מתקיים:
:<math>\ a^2+b^2=c^2</math> (משפט פיתגורס)
אם התיכונים לניצבים הםוכן:8וט9ןהם <math>\ m_a</math> ו-<math>\ m_b</math> והתיכון ליתר הוא <math>\ m_c</math>, אז מתקיים:
וכן:
:<math>\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{ h^2}</math>
שטח המשולש הוא:
:<math>\text{Area}=\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}</math>
אם רדיוס ה[[מעגל חסום|מעגל החסום]] במשולש הוא <math>\ r</math>, אז מתקיים:
:<math> r = \frac{1}{2}(a+b-c) = \frac{ab}{a+b+c}</math>
אם התיכונים לניצבים הם <math>\ m_a</math> ו-<math>\ m_b</math> והתיכון ליתר הוא <math>\ m_c</math>, אז מתקיים:
:<math>m_a^2 + m_b^2 = 5m_c^2 = \frac{5}{4}c^2 </math>
 
==הגדרת פונקציות טריגונומטריות==
{{ערך מורחב|פונקציות טריגונומטריות}}
את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 ללזחיזין-90 [[מעלה (זווית)|מעלות]] (<math>\frac{\pi}{2}</math> [[רדיאן|רדיאנים]]), מגדירים כ[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית.
 
עבור זווית <math>\alpha</math> הכלואה בין הניצב <math>\ b</math> והיתר <math>\ c</math> ומול הצלע <math>\ a</math> מוגדר:
:יכ
:<math>\sin\alpha =\frac {a}{c},\,\cos\alpha =\frac {b}{c},\,\tan\alpha =\frac {a}{b},\,\sec\alpha =\frac {c}{b},\,\cot\alpha =\frac {b}{a},\,\csc\alpha =\frac {c}{a}</math>
עבור זווית כללית מגדירים באמצעות [[מעגל היחידה]].
 
בישראל משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30 מכונה לפעמים "משולש הזהב", ובו אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זה הוא חצי מ[[משולש שווה-צלעות]]. לרוב השם "משולש הזהב" שמור למשולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות", שכןלקישורים היחסחיצוניים{{מיזמים|ויקישיתוף=Category:Right בין השוקיים לבסיס בו הוא [[יחס הזהב]].triangles}}
==משולשים ישרי-זווית מיוחדים==
בישראל משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30 מכונה לפעמים "משולש הזהב", ובו אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זה הוא חצי מ[[משולש שווה-צלעות]]. לרוב השם "משולש הזהב" שמור למשולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות, שכן היחס בין השוקיים לבסיס בו הוא [[יחס הזהב]].
 
בישראל מקובל גם המושג "משולש כסף", למשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. הזוויות שלו הן: 45, 45, 90. היחס בין אורך היתר לאורך הניצב הוא [[השורש הריבועי של 2|שורש 2]], שהוא ככל הנראה המספר ה[[מספר אי-רציונלי|אי-רציונלי]] הראשון שהתגלה.
 
==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקישיתוף=Category:Right triangles}}
* [http://www.mathportal.org/calculators/plane-geometry-calculators/right-triangle-calculator.php אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית]
* {{MathWorld|RightTriangle}}
 
{{מצולעים ופאונים}}
 
[[קטגוריה:משולש]]
משתמש אלמוני