הרחבת גלואה – הבדלי גרסאות

בתורת החוגים הקומוטטיביים, הרחבה S של חוג R, יחד עם חבורה G של אוטומורפיזמים של S, נקראת '''הרחבת גלואה''' של R אם S [[מודול פרוייקטיביפרויקטיבי]] מעל R, תת-החוג האינווריאנטי תחת G הוא R, ולכל אידמפוטנט e של S פעולת G נאמנה על Se (כלומר לכל <math>\ \sigma \neq 1</math> קיים <math>\ x\in S</math> כך ש-<math>\ (\sigma(x)-x)e \neq 0</math>). הרחבת שדות K/F היא הרחבת גלואה של חוגים אם ורק אם היא הרחבת גלואה של שדות. באופן כללי יותר, לכל הרחבת גלואה K/F, המכפלה הישרה <math>\ S = K \times \cdots \times K</math> היא הרחבת גלואה של F ביחס לחבורת אוטומורפיזמים הנוצרת על- ידי שיכון אלכסוני של <math>\ \operatorname{Gal}(K/F)</math> ו[[פעולה טרנזיטיבית]] [[פעולה רגולרית|רגולרית]] על העותקים של K. לדוגמאלדוגמה, אם R תחום שלמות, הרחבת גלואה הנוצרת על- ידי איבר אחד היא תמיד מהצורה <math>\ R[x]/\langle f(x) \rangle</math> כאשר הפולינום f [[פולינום מתוקן]] וה[[דיסקרימיננטה]] שלו היא איבר הפיך של R. בפרט, ההרחבה היחידה מדרגה 2 של חוג השלמים <math>\ \mathbb{Z}</math> היא <math>\ \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}</math>.