בלבול (פסיכולוגיה) – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Galabra (שיחה | תרומות)
מ Galabra העביר את הדף בלבול לשם בלבול (קומבינטוריקה): כפילות בשם הערך
Galabra (שיחה | תרומות)
ביטול גרסה 20664492 של Galabra (שיחה)
שורה 1:
{{פירוש נוסף|נוכחי=רגש אנושי|אחר=כדורגלן עבר ישראלי|ראו=[[מרקו בלבול]]}}
[[קובץ:N!_v_!n.svg|ממוזער|300x300 פיקסלים|מספר התמורות והבלבולים של n איברים. הגרף הכחול מייצג את הערך של n עצרת, מספר התמורות, ואילו הגרף האדום מייצג את מספר הבלבולים האפשריים ל-n איברים. כלומר, שאף איבר לא נמצא במקומו המקורי.
{| class="wikitable collapsible collapsed" style="margin: 0px;" width="100%"
! colspan="4" |טבלת ערכים<br>
|-
! <math>n</math>
! nowrap="" | תמורות, <math>n!</math>
! nowrap="" | בלבולים, <math>!n</math>
! <math>\frac{!n}{n!}</math>
|-
| align="center" | 0
| 1
=1&#xD7;10<sup>0</sup>
| 1
=1&#xD7;10<sup>0</sup>
| &nbsp;= 1
|-
| align="center" | 1
| 1
=1&#xD7;10<sup>0</sup>
| 0
| &nbsp;= 0
|-
| align="center" | 2
| 2
=2&#xD7;10<sup>0</sup>
| 1
=1&#xD7;10<sup>0</sup>
| &nbsp;= 0.5
|-
| align="center" | 3
| 6
=6&#xD7;10<sup>0</sup>
| 2
=2&#xD7;10<sup>0</sup>
| align="right" | &#x2248;0.33333&#x2009;33333
|-
| align="center" | 4
| 24
=2.4&#xD7;10<sup>1</sup>
| 9
=9&#xD7;10<sup>0</sup>
| &nbsp;= 0.375
|- style="border-top: 2px solid rgb(170, 170, 170);"
| align="center" | 5
| 120
=1.20&#xD7;10<sup>2</sup>
| 44
=4.4&#xD7;10<sup>1</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36666&#x2009;66667
|-
| align="center" | 6
| 720
=7.20&#xD7;10<sup>2</sup>
| 265
=2.65&#xD7;10<sup>2</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36805&#x2009;55556
|-
| align="center" | 7
| 5&#x2009;040
&#x2248;5.04&#xD7;10<sup>3</sup>
| 1&#x2009;854
&#x2248;1.85&#xD7;10<sup>3</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36785&#x2009;71429
|-
| align="center" | 8
| 40&#x2009;320
&#x2248;4.03&#xD7;10<sup>4</sup>
| 14&#x2009;833
&#x2248;1.48&#xD7;10<sup>4</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36788&#x2009;19444
|-
| align="center" | 9
| 362&#x2009;880
&#x2248;3.63&#xD7;10<sup>5</sup>
| 133&#x2009;496
&#x2248;1.33&#xD7;10<sup>5</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;91887
|- style="border-top: 2px solid rgb(170, 170, 170);"
| align="center" | 10
| 3&#x2009;628&#x2009;800
&#x2248;3.63&#xD7;10<sup>6</sup>
| 1&#x2009;334&#x2009;961
&#x2248;1.33&#xD7;10<sup>6</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;94643
|-
| align="center" | 11
| 39&#x2009;916&#x2009;800
&#x2248;3.99&#xD7;10<sup>7</sup>
| 14&#x2009;684&#x2009;570
&#x2248;1.47&#xD7;10<sup>7</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;94392
|-
| align="center" | 12
| 479&#x2009;001&#x2009;600
&#x2248;4.79&#xD7;10<sup>8</sup>
| 176&#x2009;214&#x2009;841
&#x2248;1.76&#xD7;10<sup>8</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;94413
|-
| align="center" | 13
| 6&#x2009;227&#x2009;020&#x2009;800
&#x2248;6.23&#xD7;10<sup>9</sup>
| 2&#x2009;290&#x2009;792&#x2009;932
&#x2248;2.29&#xD7;10<sup>9</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;94412
|-
| align="center" | 14
| 87&#x2009;178&#x2009;291&#x2009;200
&#x2248;8.72&#xD7;10<sup>10</sup>
| 32&#x2009;071&#x2009;101&#x2009;049
&#x2248;3.21&#xD7;10<sup>10</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;94412
|- style="border-top: 2px solid rgb(170, 170, 170);"
| align="center" | 15
| style="font-size: 80%;" | 1&#x2009;307&#x2009;674&#x2009;368&#x2009;000
&#x2248;1.31&#xD7;10<sup>12</sup>
| style="font-size: 80%;" | 481&#x2009;066&#x2009;515&#x2009;734
&#x2248;4.81&#xD7;10<sup>11</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;94412
|-
| align="center" | 16
| style="font-size: 80%;" | 20&#x2009;922&#x2009;789&#x2009;888&#x2009;000
&#x2248;2.09&#xD7;10<sup>13</sup>
| style="font-size: 80%;" | 7&#x2009;697&#x2009;064&#x2009;251&#x2009;745
&#x2248;7.70&#xD7;10<sup>12</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;94412
|-
| align="center" | 17
| style="font-size: 80%;" | 355&#x2009;687&#x2009;428&#x2009;096&#x2009;000
&#x2248;3.56&#xD7;10<sup>14</sup>
| style="font-size: 80%;" | 130&#x2009;850&#x2009;092&#x2009;279&#x2009;664
&#x2248;1.31&#xD7;10<sup>14</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;94412
|-
| align="center" | 18
| style="font-size: 80%;" | 6&#x2009;402&#x2009;373&#x2009;705&#x2009;728&#x2009;000
&#x2248;6.40&#xD7;10<sup>15</sup>
| style="font-size: 80%;" | 2&#x2009;355&#x2009;301&#x2009;661&#x2009;033&#x2009;953
&#x2248;2.36&#xD7;10<sup>15</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;94412
|-
| align="center" | 19
| style="font-size: 80%;" | 121&#x2009;645&#x2009;100&#x2009;408&#x2009;832&#x2009;000
&#x2248;1.22&#xD7;10<sup>17</sup>
| style="font-size: 80%;" | 44&#x2009;750&#x2009;731&#x2009;559&#x2009;645&#x2009;106
&#x2248;4.48&#xD7;10<sup>16</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;94412
|- style="border-top: 2px solid rgb(170, 170, 170);"
| align="center" | 20
| style="font-size: 80%;" | 2&#x2009;432&#x2009;902&#x2009;008&#x2009;176&#x2009;640&#x2009;000
&#x2248;2.43&#xD7;10<sup>18</sup>
| style="font-size: 80%;" | 895&#x2009;014&#x2009;631&#x2009;192&#x2009;902&#x2009;121
&#x2248;8.95&#xD7;10<sup>17</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;94412
|-
| align="center" | 21
| style="font-size: 80%;" | 51&#x2009;090&#x2009;942&#x2009;171&#x2009;709&#x2009;440&#x2009;000
&#x2248;5.11&#xD7;10<sup>19</sup>
| style="font-size: 80%;" | 18&#x2009;795&#x2009;307&#x2009;255&#x2009;050&#x2009;944&#x2009;540
&#x2248;1.88&#xD7;10<sup>19</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;94412
|-
| align="center" | 22
| style="font-size: 80%;" | 1&#x2009;124&#x2009;000&#x2009;727&#x2009;777&#x2009;607&#x2009;680&#x2009;000
&#x2248;1.12&#xD7;10<sup>21</sup>
| style="font-size: 80%;" | 413&#x2009;496&#x2009;759&#x2009;611&#x2009;120&#x2009;779&#x2009;881
&#x2248;4.13&#xD7;10<sup>20</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;94412
|-
| align="center" | 23
| style="font-size: 80%;" | 25&#x2009;852&#x2009;016&#x2009;738&#x2009;884&#x2009;976&#x2009;640&#x2009;000
&#x2248;2.59&#xD7;10<sup>22</sup>
| style="font-size: 80%;" | 9&#x2009;510&#x2009;425&#x2009;471&#x2009;055&#x2009;777&#x2009;937&#x2009;262
&#x2248;9.51&#xD7;10<sup>21</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;94412
|-
| align="center" | 24
| style="font-size: 80%;" | 620&#x2009;448&#x2009;401&#x2009;733&#x2009;239&#x2009;439&#x2009;360&#x2009;000
&#x2248;6.20&#xD7;10<sup>23</sup>
| style="font-size: 80%;" | 228&#x2009;250&#x2009;211&#x2009;305&#x2009;338&#x2009;670&#x2009;494&#x2009;289
&#x2248;2.28&#xD7;10<sup>23</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;94412
|- style="border-top: 2px solid rgb(170, 170, 170);"
| align="center" | 25
| style="font-size: 80%;" | 15&#x2009;511&#x2009;210&#x2009;043&#x2009;330&#x2009;985&#x2009;984&#x2009;000&#x2009;000
&#x2248;1.55&#xD7;10<sup>25</sup>
| style="font-size: 80%;" | 5&#x2009;706&#x2009;255&#x2009;282&#x2009;633&#x2009;466&#x2009;762&#x2009;357&#x2009;224
&#x2248;5.71&#xD7;10<sup>24</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;94412
|-
| align="center" | 26
| style="font-size: 80%;" | 403&#x2009;291&#x2009;461&#x2009;126&#x2009;605&#x2009;635&#x2009;584&#x2009;000&#x2009;000
&#x2248;4.03&#xD7;10<sup>26</sup>
| style="font-size: 80%;" | 148&#x2009;362&#x2009;637&#x2009;348&#x2009;470&#x2009;135&#x2009;821&#x2009;287&#x2009;825
&#x2248;1.48&#xD7;10<sup>26</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;94412
|-
| align="center" | 27
| style="font-size: 80%;" | 10&#x2009;888&#x2009;869&#x2009;450&#x2009;418&#x2009;352&#x2009;160&#x2009;768&#x2009;000&#x2009;000
&#x2248;1.09&#xD7;10<sup>28</sup>
| style="font-size: 80%;" | 4&#x2009;005&#x2009;791&#x2009;208&#x2009;408&#x2009;693&#x2009;667&#x2009;174&#x2009;771&#x2009;274
&#x2248;4.01&#xD7;10<sup>27</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;94412
|-
| align="center" | 28
| style="font-size: 80%;" | 304&#x2009;888&#x2009;344&#x2009;611&#x2009;713&#x2009;860&#x2009;501&#x2009;504&#x2009;000&#x2009;000
&#x2248;3.05&#xD7;10<sup>29</sup>
| style="font-size: 80%;" | 112&#x2009;162&#x2009;153&#x2009;835&#x2009;443&#x2009;422&#x2009;680&#x2009;893&#x2009;595&#x2009;673
&#x2248;1.12&#xD7;10<sup>29</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;94412
|-
| align="center" | 29
| style="font-size: 80%;" | 8&#x2009;841&#x2009;761&#x2009;993&#x2009;739&#x2009;701&#x2009;954&#x2009;543&#x2009;616&#x2009;000&#x2009;000
&#x2248;8.84&#xD7;10<sup>30</sup>
| style="font-size: 80%;" | 3&#x2009;252&#x2009;702&#x2009;461&#x2009;227&#x2009;859&#x2009;257&#x2009;745&#x2009;914&#x2009;274&#x2009;516
&#x2248;3.25&#xD7;10<sup>30</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;94412
|- style="border-top: 2px solid rgb(170, 170, 170);"
| align="center" | 30
| style="font-size: 80%;" | 265&#x2009;252&#x2009;859&#x2009;812&#x2009;191&#x2009;058&#x2009;636&#x2009;308&#x2009;480&#x2009;000&#x2009;000
&#x2248;2.65&#xD7;10<sup>32</sup>
| style="font-size: 80%;" | 97&#x2009;581&#x2009;073&#x2009;836&#x2009;835&#x2009;777&#x2009;732&#x2009;377&#x2009;428&#x2009;235&#x2009;481
&#x2248;9.76&#xD7;10<sup>31</sup>
| align="right" | &#x2248;0.36787&#x2009;94412
|}
]]
ב[[מתמטיקה]] [[קומבינטוריקה|קומבינטורית]], '''בלבול''' (באנגלית: Derangement) הוא [[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]] של איברי [[קבוצה]], כך שאף איבר אינו מופיע במיקומו המקורי.
במילים אחרות, בלבול הוא תמורה שאינה מכילה [[נקודת שבת|נקודות קבועות]].
 
[[קובץ:Confused Felipe.jpg|ממוזער|250px|אדם מבולבל.]]
מספר הבלבולים של קבוצה בגודל ''n'', בדרך כלל נכתב ''D<sub>n</sub>'', ''d,<sub>n</sub>'', או ''n!'', נקרא גם "מספר de Montmort". '''פונקציית הבלבול''' (בשונה מ-n [[עצרת]], ''!n'')שולחת מ-''n'' ל-''n!''.<ref>The name "subfactorial" originates with [//en.wikipedia.org/wiki/William_Allen_Whitworth William Allen Whitworth]; see {{citation|last=Cajori|first=Florian|title=A History of Mathematical Notations: Two Volumes in One|url=https://books.google.com/books?id=gxrO8ZnMK_YC&pg=RA1-PA77|year=2011|authorlink=Florian Cajori|page=77|publisher=Cosimo, Inc.,|isbn=9781616405717}}.</ref> לפונקצייה זו אין סימון מוסכם ולעיתים משתמשים ב-''n''¡ במקום ב-!''n''.<ref>Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, ''Concrete Mathematics'' (1994), Addison–Wesley, Reading MA. </ref>
 
'''בלבול''', במובנו ה[[פתולוגיה|פתולוגי]] הוא מצב בו אדם סובל מאובדן [[התמצאות]] (יכולת של אדם למקם את עצמו בצורה נכונה בעולם באמצעות זמן, מיקום וזהות אישית) ולעתים קרובות אובדן של [[זיכרון]] (יכולת של אדם לזכור אירועים קודמים וללמוד חומר חדש).
הראשון שהתייחס לבעיה של ספירת הבלבולים היה פייר ריימונד דה מונמור<ref>de Montmort, P. R. (1708). </ref>, בשנת 1708; הוא פתר אותה בשנת 1713, בערך באותו זמן שעשה זאת ניקולאס ברנולי.
 
בלבול אינו בעל משמעות זהה עם אי יכולת להתרכז, אף על פי שחוסר יכולת של אדם למקד [[תשומת לב]] יכול לגרום, או להביא באופן משמעותי את אותו אדם למצב של בלבול. בלבול וחוסר יכולת למקד תשומת לב הם שני התסמינים לאובדן או חוסר בתפקוד [[מוח]] רגיל.
== דוגמה ==
{{ש}}המידות המתונות של בלבול כתסמין פתולוגי מתייסות לאירועים קודמים. לכן, לדוגמה, [[מתמטיקאי]] מבולבל לגבי טיפול בשבר פשוט, עלול להעיד בהתנהגותו על פתולוגיה, אשר לא תינתן לאבחון באדם ללא הכשרה בתחום זה. לכן, במקרה של [[תזזית]], לא ניתן לאבחן את המידות הזעירות של בלבול פתולוגי באדם ללא הכרה בתפקודו ה[[רגש]]י.
[[קובץ:Derangement4.png|שמאל|ממוזער|9 בלבולים מוקפים, מתוך 24 תמורות]]
נניח שמורה בוחן 4 תלמידים - A, B, C, ו-D - ורוצה שכל תלמיד יבדוק מבחן של אחד מעמיתיו. כמובן שאף תלמיד לא אמור לבדוק את המבחן של עצמו. בכמה דרכים יכול המורה לחלק את המבחנים לתלמידיו כדי שאלה יבדקו אותם? מתוך 24 תמורות אפשריות (4!) לחלוקת המבחנים:
: {| style="font: 125%/1 monospace; border-collapse: collapse;"
|ABCD,
|ABDC,
|.צ. ב.ד,
| - CDB,
| - DBC,
|ADCB,
|-
|BA,CD,
|BADC,
|BCAד,
|BCDA,
|BDAC,
|BDC,
|-
|מוניתD,
|CADB,
|CBAD,
|CBDA,
|CDAB,
|CDBA,
|-
|DABC,
|דהC,B,
|DBAC,
|דלפנה " ס,
|DCAB,
|DCBA.
|}
יש רק 9 בלבולים (מסומנים בכתב כחול נטוי). בשאר התמורות של הקבוצה בת 4 האיברים, לפחות תלמיד אחד מקבל את המבחן שלו בחזרה (מסומנות בכתב אדום מודגש).
 
בלבול עלול לנבוע מתפקוד מוחי לקוי באופן יחסי. בנוסף, ייתכן שהוא נובע מתסמונת מוח אורגנית כגון [[שיטיון]]. במקרים אחרים, לרוב מתקשר הבלבול עם חוסר יכולת למקד תשומת לב.
גרסה נוספת של הבעיה עוסקת במספר הדרכים להכניס ''n'' מכתבים, שכל אחד מהם ממוען לאדם אחר, ל-''n'' מעטפות שכבר כתובות עליהן כתובות, כך שאף מכתב לא יוכנס למעטפה הנכונה.
 
בעיות בריאות רבות עלולות להביא לידי הופעת תסמונות של שיטיון או של תזזית. אותן תסמונות עלולות להתרחש יחדיו, ולעתים קרובות הן מכילות את תסמיני הבלבול. מאז שתפקוד רגשי הפך לחשוב בצורה קיצונית ל[[בריאות]] האדם, הרושם שמשאירים מצב בלבול חדש או חוסר יכולת למקד תשומת לב, הוא ש[[מחלה]] פיזית או רגשית חדשה התגלתה, או שמחלה פיזית או רגשית ממושכת הפכה קשה יותר. בין המחלות והפגיעות הבריאותיות שיכולות לגרום לבלבול, אפשר למנות [[מכת חום]], [[אנמיה]], [[נזק מוחי]], [[גידול מוחי]], [[שבץ מוחי]]. בין הבעיות הנפשיות שעלולות להוביל לבלבול ניתן למנות [[דיכאון לאחר לידה]], [[חרדה]], וכו'.
== ספירת בלבולים ==
נניח שיש ''n'' אנשים ממוספרים 1,&#x20;2,&#x20;...,&#x20;''n''. וכן ''n'' כובעים ממוספרים 1,&#x20;2,&#x20;...,&#x20;''n''. עלינו למצוא את מספר הדרכים בהן אף אחד לא מקבל את הכובע שממוספר כמוהו. נניח כי האדם הראשון לוקח את הכובע הממוספר ב-''i'', מתוך ''n''&#x20;&#x2212;&#x20;1 אפשרויות. כעת יש שתי אפשרויות - תלוי אם האדם ה-''i'' לוקח את כובע מספר 1:
# האדם ה-''i'' לא לוקח את כובע מספר 1. מקרה זה שקול לפתרון הבעיה עם ''n''&#x20;&#x2212;&#x20;1 אנשים ו- ''n''&#x20;&#x2212;&#x20;1 כובעים: לכל אחד מבין ''n''&#x20;&#x2212;&#x20;1 האנשים יש בדיוק בחירה אחת אסורה מבין שאר ''n''&#x20;&#x2212;&#x20;1 הכובעים (לאדם ה-''i'' אסור לבחור בכובע 1).
# האדם ה-''i'' לוקח את כובע מספר 1. עכשיו הבעיה מצטמצמת ל-''n''&#x20;&#x2212;&#x20;2 אנשים ו- ''n''&#x20;&#x2212;&#x20;2 כובעים.
מכאן ניתן להגיע לנוסחה הבאה:
: <math />
כאשר n!, המכונה פונקציית הבלבול, מייצג את מספר הבלבולים, עם תנאי ההתחלה !0&#x20;=&#x20;1 ו- !1&#x20;=&#x20;0.
 
==קישורים חיצוניים==
אותה נוסחת נסיגה עובדת גם עבור עצרת, עם תנאי התחלה שונים: 0!&#x20;=&#x20;1, 1!&#x20;=&#x20;1
{{מיזמים|ויקימילון=בלבול}}
: <math />
וזה עוזר להוכיח את הגבול עם [[e]] בהמשך.
 
{{רגשות}}
כמו כן, הנוסחאות להלן ידועות גם כן:<ref>Hassani, M. "Derangements and Applications." </ref>
[[קטגוריה:הכרה]]
: <math />
[[קטגוריה:רגשות]]
 
{{קצרמר|פסיכולוגיה}}
: <math />
כאשר <math /> היא [[פונקציית קיטום|פונקציית הקיטום]] (מעגלת למספר השלם הקרוב) ו <math /> הוא [[פונקציית הרצפה]] (מעגלת למספר השלם הנמוך).
: <math />
 
: <math />
להלן נוסחה נוספת:<ref>See the notes for {{OEIS}}.</ref>
: <math />
החל מ- ''n''&#x20;=&#x20;0, מספר הבלבולים של ''n'' הם:
: 1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, 2290792932, ... {{OEIS}}.
שיטה ידועה לספירת בלבולים משתמשת ב[[עקרון ההכלה וההפרדה]]: ראשית לספור את כל התמורות, לחסר את אלה שמיקומו של אחד האיברים נשאר בהן קבוע ולבצע תמורות של שאר האיברים, להוסיף בחזרה את התמורות בהן שני איברים שומרים על מיקומם המקורי, וכו'.
: <math />
חישוב ''n''! נותן את הנוסחה הבאה: <math />
 
== סיבוכיות חישוב ==
השאלה האם קבוצת תמורות מכילה בלבולים כלשהם היא בעיית NP שלמה.<ref>{{Citation|last=Lubiw|first=Anna|title=Some NP-complete problems similar to graph isomorphism|year=1981|author-link=Anna Lubiw|authorlink=Anna Lubiw|journal=[[SIAM Journal on Computing]]|volume=10|issue=1|pages=11–21|doi=10.1137/0210002|DOI=10.1137/0210002|mr=605600|MR=605600}}<span dir="ltr" class="registered_only">More than one of <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">&#x7C;authorlink=</code>, <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">&#x7C;authorlink=</code>, ו<code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">&#x7C;author-link=</code> specified ([[עזרה:שגיאות ציטוט#redundant parameters|עזרה]])</span>; <span dir="ltr" class="registered_only">More than one of <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">&#x7C;mr=</code> ו<code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">&#x7C;MR=</code> specified ([[עזרה:שגיאות ציטוט#redundant parameters|עזרה]])</span>; <span dir="ltr" class="registered_only">More than one of <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">&#x7C;DOI=</code> ו<code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">&#x7C;doi=</code> specified ([[עזרה:שגיאות ציטוט#redundant parameters|עזרה]])</span>
[[קטגוריה:דפים עם תבניות ציטוט הכוללות פרמטרים מיותרים]]
[[קטגוריה:דפים עם תבניות ציטוט הכוללות פרמטרים מיותרים]]
[[קטגוריה:דפים עם תבניות ציטוט הכוללות פרמטרים מיותרים]]
[[קטגוריה:שגיאות ציטוט]]
. </ref>
 
== הפניות ==
{{Reflist}}
 
== קישורים חיצוניים ==
* {{Cite web|url=http://math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2004/derangement.pdf|title=Let's get deranged!|last=Baez, John|authorlink=John Baez|year=2003}}
* {{Cite web|url=http://www.math.dartmouth.edu/~doyle/docs/menage/menage/menage.html|title=Non-sexist solution of the ménage problem|last=Bogart, Kenneth P.|last2=Doyle, Peter G.|year=1985}}
* {{Cite web|url=http://mathforum.org/advanced/robertd/derangements.html|title=Derangement diagrams|website=Mathematical Figures Using ''Mathematica''|last=Dickau, Robert M.}}
* {{Cite web|url=http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL6/Hassani/hassani5.html|title=Derangements and Applications|publisher=Journal of Integer Sequences (JIS), Volume 6, Issue 1, Article 03.1.2, 2003|last=Hassani, Mehdi}}
* {{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Derangement.html|title=Derangement|publisher=MathWorld–A Wolfram Web Resource|last=Weisstein, Eric W|authorlink=Eric W. Weisstein}}
[[קטגוריה:סדרות של שלמים]]