מעטפת (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

 

ב[[גאומטריה]], ה'''מעטפת''' (ב[[אנגלית]]: '''Envelope''') של [[משפחת עקומים|משפחה]] של [[עקומה|עקומים]] במישור היא העקום אשר [[משיק]] לכל עקום במשפחה הזו בנקודה כלשהי. באופן קלאסי, ניתן לחשוב על נקודה על המעטפת כנקודת החיתוך של שני עקומים "סמוכים", כלומר הגבול של נקודות החיתוך של עקומים סמוכים. המעטפת של משפחת העקומים "תוחמת" את משפחת העקומים, במובן שכל נקודה על כל עקום כלשהו השייך למשפחה נמצאת בתוך האזור התחום על ידי המעטפת. הרעיון הזה יכול להיות מוכלל למעטפת של משטחים במרחב, וכך הלאה לממדים גבוהים יותר.

 

==דוגמאות==

 

* סולם שמונח על קיר במקביל לקיר, ומתחיל להחליק כך שקצה אחד שלו נמצא על הקיר האנכי וקצה אחר שלו על הרצפה יתווה מעטפת של [[אסטרואידה]] (ה[[אוולוט]] של ה[[אליפסה]]), כלומר האסטרואידה היא המעטפת של כל המצבים של הסולם בזמנים שונים. בניסוח מתמטי, האסטרואידה היא המעטפת של משפחה של קווים ישרים המחברים את הנקודות <math>(s,0)</math>, ו-<math>(0,t)</math> כאשר <math>s^2 + t^2 = 1</math>, כמוראה באיור.

 

===קאוסטיקות===

ב[[אופטיקה גאומטרית]], ה[[קאוסטיקה]] היא המעטפת של משפחה של [[קרן אור|קרני אור]]. בתמונה זו ישנה [[קשת (גאומטריה)|קשת]] של מעגל. קרני האור מגיעות ממקור "באינסוף" ולכן מגיעות מקבילות. כשהן פוגעות בקשת המעגלית קרני האור מפוזרות בכיוונים שונים לפי [[החזרת אור|חוק ההחזרה]]. כשקרן אור פוגעת בקשת בנקודה האור יוחזר כאילו הוא היה מוחזר על ידי [[משיק|הקו המשיק]] לקשת בנקודה זו. המעטפת של הקווים הללו נקרא הקאוסטיקה הרפלקטיבית. קאוסטיקה רפלקטיבית תהיה מורכבת באופן גנרי מנקודות [[עקום חלק|חלקות]] ונקודות חוד (cusp).