מתמטיקה עיונית – הבדלי גרסאות

מתמטיקאים יוונים מהעת העתיקה היו מהראשונים להבחין בין מתמטיקה טהורה לשימושית. [[אפלטון]] סייע ליצור את ההבחנה בין "אריתמטי", שנקרא [[תורת המספרים]] כיום, לבין "לוגיסטי" שבימינו נודע כ[[אריתמטיקה]]. אפלטון התייחס לפן הלוגיסטי כיאה לאנשי עסקים ומלחמה אשר "חייבים ללמוד את אמנות המספרים שמא לא יידעו לארגן את חייליהם" ולפן האריתמטי (תורת המספרים) כיאה לפילוסופים "כי עליהם לעלות ממימי השינוי ולהשיג אחיזה בהוויה אמיתית"{{הערה|שם=histroyOfMathematics|1=A History of Mathematics, Second Edition: Carl B. Boyer}}. כאשר נשאל [[אאוקלידס]] מאלכסנדריה על ידי אחד מתלמידיו מהו השימוש ללימוד הגאומטריה, ביקש הלה באירוניה מעבדו לשלם מטבע כסף לתלמיד "כי הוא חייב ליצור רווח מידיעותיו"{{הערה|A History of Mathematics, Second Edition: Carl B. Boyerשם=histroyOfMathematics}}. המתמטיקאי היווני אפולוניוס מפרגה שנשאל לגבי השימושיות של חלק מהתיאורמות בספרו הרביעי לחתכים חרוטיים הצהיר:

ומכיוון שרבות מתוצאותיו לא היו ברות יישום למדע או ההנדסה של ימיו, המשיך לדרוש בחשיבותן בהקדמה לספרו החמישי לחתכים חרוטיים בטוענו שהנושא הוא מאותם ה"ראויים ללמידה מעצם היותם ברי קיימא{{הערה|A History of Mathematics, Second Edition: Carl B. Boyerשם=histroyOfMathematics}}"

עוד דוגמה נבחרת לכלליות ניתן למצוא בעבודתו של [[פליקס קליין]] בשם [[תוכנית ארלנגן]] בה עמל קליין על הרחבה של מושג ה[[גאומטריה]] כך שיכיל גם [[גאומטריה לא-אוקלידית|גאומטריות לא-אוקלידיות]], את ענף ה[[טופולוגיה]], וצורות אחרות של גאומטריה על ידי השקפה של גאומטריה כמחקר של חלל בצוותא עם [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] של טרנספורמציות. חקר ה[[מספר]]ים, הקרוי [[אלגברה]] בשלבי הלימודים התיכוניים, מתרחב ל[[אלגברה מופשטת]] בשלב מתקדם יותר; ו[[פונקציה|חקר הפונקציות]] הקרוי [[חשבון אינפיניטסימלי]], הופך ל[[אנליזה מתמטית]] ו[[אנליזה פונקציונלית]] בשלב מתקדם יותר. לכל אחד מהענפים האבסטרקטיים הללו ישנם תתי-תחומי התמחות כך שישנם בפועל קשרים רבים בין הדיסציפלינות הטהורה והשימושית. עלייה חדה בזרם ה[[הפשטה|אבסטרקציה]] נרשמה באמצע המאה ה-20 והיא מתבטאת במגוון תחומי חיים ולא רק במתמטיקה.

[[גאומטריה]] היא חקר צורות ומרחב, ובפרט חקר קבוצות של טרנספורמציות של המרחב. לדוגמה, [[גאומטריה פרויקטיבית]] עוסקת בטרנספורמציות [[היטל (גאומטריה)|היטליות]] שפועלות על המישור ההיטלי האמיתי בעוד ש[[אינוורסיה (גאומטריה)|אינוורסיה]] עוסקת בקבוצה של טרנספורמציות היפוכיות הפועלות על המישור המורכב. הגאומטריה התרחבה וכיום כוללת גם את ענף ה[[טופולוגיה]] אשר עוסק באובייקטים הקרויים מרחבים טופולוגיים ומפות רציפות ביניהם. עיקר עניינה של הטופולוגיה הוא באופן בו מרחבים מתחברים ומתעלמת מחישובים מדוקדקים של מרחק וזוויות.