קבוצת קנטור – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Boaz.tsaban (שיחה | תרומות) |
Boaz.tsaban (שיחה | תרומות) |
||
שורה 95:
נקודת הגבול שייכת לקבוצת קנטור מאותה סיבה: לכל שלב בבניה, יש קטע שכל נקודות הסידרה שבחרנו משלב זה ואילך נמצאות בו, ולכן נקודת הגבול שייכת לו. יוצא, שנקודת הגבול שייכת לכל הקבוצות <math>A_n</math> שהוגדרו בבניית קבוצת קנטור, ולכן שייכת לחיתוכן, שהוא קבוצת קנטור.
זה מסיים את ההוכחה, אבל אפשר להראות גם שהפונקציה שהגדרנו היא על: לכל נקודה <math>a</math> בקבוצת קנטור, בשלב <math>n</math> של הבניה יש קטע יחיד אליו הנקודה שייכת, וזה אחד משני תת-הקטעים של הקטע מהשלב הקודם אליו הנקודה היתה שייכת. אם זה הקטע השמאלי, נגדיר <math>i_n=0</math>, ואם זה הקטע הימני, נגדיר <math>i_n=1</math>. הפונקציה שהגדרנו לעיל ממפה את הסידרה המתקבלת <math>(i_1,i_2,\dots)</math> לנקודה <math>a</math>, כיון שהקצוות השמאליים של הקטעים אליהם הנקודה שייכת מתכנסים אליה (קוטר הקטע בשלב <math>n</math> הוא <math>(1/3)^n</math>, והמרחק בין נקודה בקטע לקצה הקטע אינו גדול יותר).
=== מידתה של קבוצת קנטור ===
| |||