אוניברסליות (תורת הקטגוריות) – הבדלי גרסאות

'''מורפיזם התחלתי''' מ-<math>X</math> ל-<math>U</math> הוא זוג <math>(A,\phi)</math> כאשר <math>A</math> אובייקט של <math>D</math> ו-<math>\phi : X \to U(A)</math> מורפיזם ב-<math>C</math>, כך שמתקיימת '''תכונת ההתחלתיות''': לכל אובייקט <math>Y</math> ב-<math>D</math> ולכל מורפיזם <math>f:X \to U(Y)</math> קיים ויחיד מורפיזם <math>g:A \to Y</math> כך ש-<math>U(g) \circ \phi = f</math>, כלומר ה[[דיאגרמה (תורת הקטגוריות)|דיאגרמה]] הבאה מתחלפת:

 

 

בדומה, '''מורפיזם סופי''' הוא מורפיזם דואלי לקודם: זהו אובייקט סופי מ-<math>U</math> ל-<math>X</math>, כלומר זוג <math>(A,\phi)</math> כאשר <math>A</math> אובייקט של <math>D</math> ו-<math>\phi : U(A) \to X</math> מורפיזם ב-<math>C</math>, כך שמתקיימת ה'''תכונת הסופיות''': לכל אובייקט <math>Y</math> ב-<math>D</math> ולכל מורפיזם <math>f:U(Y) \to X</math> קיים ויחיד מורפיזם <math>g:Y \to A</math> כך ש-<math>\phi \circ U(g) = f</math>, כלומר:

 

 

'''מורפיזם אוניברסלי''' הוא בהגדרה אחת משתי הבניות לעיל, ו'''אוניברסליות''' היא אחת מהתכונות (ההתחלתית או הסופית) בהתאם. בהתאם לדואליות של המונחים, ניתן להגדיר רק אחד מהם, והשני נובע ישירות על ידי החלפת כיווני החצים.