הבדלים בין גרסאות בדף "משפטי האי-שלמות של גדל"

ביטול גרסה 20906933 של 31.168.233.150 (שיחה) - דף השיחה
(ביטול גרסה 20906933 של 31.168.233.150 (שיחה) - דף השיחה)
{{מפנה|משפט איהאי-השלמותשלמות|משפט מתחום מדעי המחשב|משפט איהאי-השלמותשלמות של צ'ייטין}}
'''משפטי איהאי-השלמותשלמות של [[קורט גדל]]''' הם צמד [[משפט (מתמטיקה)|משפטים]] יסודיים ב[[לוגיקה מתמטית]], הענף החוקר את יסודות ה[[לוגיקה]] בכלים [[מתמטיקה|מתמטיים]].
 
גדל הראה שכל מערכת [[אקסיומה|אקסיומות]] [[תורה אפקטיבית|אפקטיבית]] ועשירה מספיק (כזו המכילה חלק מספיק גדול מאקסיומות ה[[אריתמטיקה]]) שהיא [[עקביות (לוגיקה מתמטית)|עקבית]], היא בהכרח לא [[שלמות|שלמה]], משמע שקיימות [[עצמאות_(לוגיקה_מתמטית)|טענות שלא ניתנות להכרעה]], כלומר שלא ניתן להוכיחן או להפריכן. בכך גדל שם קץ לניסיונות רבים [[תוכנית הילברט|לבנות מערכת אקסיומטית כוללת]] שממנה תנבע כל המתמטיקה.
 
המשפטים מצוטטים בתרבות הפופולרית בצורות שונות, לעתים שגויות, ובפרט יש בלבול סביב השאלה האם המשפטים טוענים ש־"קיימות טענות אמיתיות שלא ניתן להוכיח". המשפטים מוכיחים שעבור כל מערכת כמתואר לעיל קיימת טענה על מספרים טבעיים שהיא אמיתית אך אינה ניתנת להוכחה במערכת. עם זאת, קיים גם משפט לכאורה הפוך, [[משפט השלמות של גדל]], שקדם למשפטי אי־השלמותהאי־שלמות, שטוען שבכל מערכת כזו אפשר להוכיח כל טענה הנכונה בכל [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]] המתאים למערכת (כלומר בכל פרשנות אפשרית של המערכת). משילוב שני המשפטים נובע שכל מערכת עקבית לתיאור המספרים הטבעיים אפשר לפרש בצורות שונות, שחלקן שונות מהדרך הרגילה בה אנו תופסים את המספרים הטבעיים. כלומר אפשר להתאים להן מודל שאינו מודל המספרים הטבעיים הסטנדרטי. הטענות שאינן ניתנות להכרעה יהיו אמיתיות בחלק מהמודלים הללו, ושקריות באחרים{{הערה|1=[http://www.gadial.net/2009/05/03/godel_incompleteness_yes/ משפטי אי השלמות של גדל - מה הם כן אומרים?] לא מדויק, גדי אלכסנדרוביץ'}}.
 
==מבוא לא פורמלי==
בשנת [[1931]] הוכיח הלוגיקן [[קורט גדל]] (Gödel), במאמרו "על טענות שאינן ניתנות להוכחה ב[[פרינקיפיה מתמטיקה (ראסל)|פרינקיפיה מתמטיקה]] ובמערכות דומות", שהנחה זו שגויה.
 
'''משפט איהאי-השלמותשלמות הראשון של גדל''', שהפך לאבן פינה ב[[לוגיקה מתמטית|לוגיקה המתמטית]], הוסיף אפשרות שלישית לגורל הצפוי לטענה מתמטית. המשפט קובע כי בכל מערכת לוגית מקיפה, ניתן לבנות באמצעות [[אלגוריתם]] טענות שמחד אינן ניתנות להוכחה ומאידך אינן ניתנות להפרכה מתוך אותה קבוצת אקסיומות. הטענה דומה מאוד ל[[פרדוקס השקרן]] (פרדוקס שבו אדם מסוים אומר "אני עכשיו משקר"), אך שונה ממנה, שכן לא נטען בה שהיא איננה נכונה. ההוכחה הפורמלית של המשפט מראה בצורה קונסטרוקטיבית כיצד ניתן לבנות טענה פורמלית האומרת "לא ניתן להוכיח אותי".
 
במשך שנים לאחר פרסום המשפטים רווחה ההנחה שאמנם קיימות טענות שלא ניתן להוכיח או להפריך אך הן "לא טבעיות", כלומר לא סביר שבמהלך פיתוח סטנדרטי של תורה מתמטית ניתקל במשפטים כאלו. ההנחה הזו התבררה כשגויה באופן קיצוני בעקבות הוכחת ה[[עצמאות (לוגיקה מתמטית)|עצמאות]] של [[השערת הרצף]]. השערת הרצף שהוצעה על ידי [[גיאורג קנטור]], טוענת כי לא קיימת קבוצה ש[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמתה]] גדולה מזו של המספרים הטבעיים וקטנה מזו של המספרים הממשיים. השערה זו נחשבה לאחת מהבעיות הפתוחות המרכזיות במתמטיקה בתחילת המאה ה-20 (זו הבעיה הראשונה ברשימת [[23 הבעיות של הילברט]]). בשנת [[1937]] הוכיח גדל כי לא ניתן '''להפריך''' השערה זו במסגרת [[תורת הקבוצות האקסיומטית| אקסיומות ZFC]] ובשנת [[1963]] הוכיח [[פול כהן]] כי לא ניתן '''להוכיח''' השערה זו במסגרת ZFC.
 
ב'''משפט איהאי-השלמותשלמות השני''' הוכיח גדל כי [[תורה (לוגיקה מתמטית)|תורה]] עקבית שהנה מספיק חזקה לקיים את [[אקסיומות פיאנו]] (שהאריתמטיקה הרגילה מכילה אותה) ובפרט כזאת שמקיימת את ה[[תורת הקבוצות האקסיומטית|אקסיומות של תורת הקבוצות (ZF)]] לא יכולה להוכיח את העקביות של עצמה. משמעות הדבר היא שאין אפשרות להוכיח בתוך המערכת כי האקסיומות הן עקביות. אולם, האפשרות שאי אפשר להפריך את העקביות של עצמה תלויה במערכת האקסיומות שלה (יכול להיות שטענה זאת בלתי תלויה במערכת האקסיומות שלך ויכול להיות שהיא לא נכונה).
 
תנאי המשפט אינם מחייבים מספר סופי של אקסיומות. כלומר, גם אילו היו בידינו אינסוף אקסיומות של [[תורת המספרים]], היה המשפט מתקיים בתנאי הרגיל, שניתן יהיה לזהות בקלות האם טענה נתונה היא אקסיומה של המערכת (תכונה זו נקראת [[תורה אפקטיבית|אפקטיביות]]).
 
==ההשפעה של המשפט==
ההשפעה של המשפט על התפתחות המתמטיקה הייתה רבה. משפט אי־השלמותהאי-שלמות למעשה ייתר את [[תוכנית הילברט]] ובכך פגע אנושות בניסיון לבצע אקסיומטיזציה של המתמטיקה. לאחר ההוכחה, חדלו המתמטיקאים בהדרגה לעסוק בנושא בניית [[יסודות המתמטיקה]] שהעסיקם רבות בראשית המאה ה-20 עקב תחושה של יאוש מהנושא.
 
משפט גדל היווה גם, על פי תפיסות מסוימות, הפרכה לתפיסה ה[[פורמליזם (מתמטיקה)|פורמליסטית]] של המתמטיקה כאוסף כללים חסרי משמעות מחוץ למערכת או שמשמעותם מחוץ למערכת אינה עניין מתמטי. חוסר היכולת לקבוע פורמלית את נכונותם של משפטים אלו ואחרים שימש כראייה לכך שהאדם לא מסוגל לתפוס כל אמת, שהרי כל הוכחה הידועה לאדם מבוססת על מערכת אקסיומות סופית.
 
טענה אחרת דווקא מסיקה מהמשפט את עליונותו של האדם. על פי טענה זו, ישנן אמיתות שאף [[מחשב]] תאורטי לא יכול להכילן (מדובר על מודל של מחשב, בלי תלות בקיומו הממשי, ראו [[מדעי המחשב]] ו[[מכונת טיורינג]]), כיוון שעל פי [[תזת צ'רץ'-טיורינג]] כל ההוכחות האפשריות של המחשב המושלם ([[מכונת טיורינג]]) יכולות להיות מאורגנות בצורת מערכת פורמלית. ואולם, האדם יהיה מסוגל לדעת גם טענות שלא כלולות במערכת זו (דוגמה המובאת לטענה זו היא עקביות המערכת הפורמלית בה משתמש המחשב). הפיזיקאי [[רוג'ר פנרוז]] התבסס על משפטי אי־השלמותהאי-שלמות של גדל בהעלותו את ההשערה כי ה[[אינטליגנציה]] האנושית ניתנת להסבר רק על ידי קיומן ההיפותטי של אינטראקציות קוונטיות ב[[מוח]]. אף לא אחת מטענות אלו מוסכמת על כלל הפילוסופים, ובוודאי ששתיהן אינן עומדות בדרישות ה[[ריגורוזיות]] המתמטית.
 
ההשפעה מחוץ לתחומי המתמטיקה הייתה רבה אף היא. משפט אי־השלמותהאי-שלמות משמש את חסידי [[העידן החדש]] על מנת לנגח את יומרתו כביכול של המדע לדעת הכל. לטענתם, אם אפילו המערכות המתמטיות הבסיסיות ביותר אינן ניתנות להוכחה, אזי ישנה בעייתיות בגישה על פיה מסוגל המדע להבין את העולם. משפט זה נכרך לעתים קרובות יחד עם [[מכניקת הקוונטים]] בידי גורמים עוינים למדע על מנת להוכיח את אי היכולת של המדע לדעת הכול. תרומתו של המשפט ל[[פוסטמודרניזם]] עמדה בניגוד מוחלט לגדל, שהיה [[פלטוניזם|פלטוניסט]].
 
בספרו [[שלוש מהפכות קופרניקניות]] הציג ה[[פרופסור]] [[זאב בכלר]] את משפטי אי־השלמותהאי-שלמות של גדל כהפרכה אחת מני רבות לתפיסה אותה הוא מכנה "אקטואליזם". במקרה זה, טענתו היא שהמתמטיקה מכילה תוכן ולא רק צורה, בניגוד לתפיסות אקטואליסטיות שטוענות להפך. זאת, בהתאם להתמקדותם הכללית (על פי המתואר בספר) בצורניות ובשפה ולא בעולם, מתוך ההנחה ש"אין משמעות למושג האמת"- פילוסופיה שתקפה הן לגבי המוסר והן לגבי המדע והמתמטיקה. בכך הולך בכלר בדרכו של גדל עצמו במידת מה, בניגוד לתפיסות הפוסטמודרניות, שכן גדל האמין באמת אחת והתכוון שמשפטו יהווה הפרכה לפורמליזם שראה כמרוקן את המתמטיקה מתוכנה.
 
==ראו גם==
* [[משפט האי-שלמות של צ'ייטין|משפט אי־השלמות של צ'ייטין]]
* [[משפט הרקורסיה]] - משמשת בחלק מההוכחות למשפטי אי־השלמותהאי-שלמות של גדל.
* [[משפט סקולם-לוונהיים]] - משפט נוסף על מגבלות כוח התיאור של [[לוגיקה מסדר ראשון|הלוגיקה מסדר ראשון]].
* [[משפט האי-גדירות של טרסקי|משפט אי-הגדירות של טרסקי]]
 
==לקריאה נוספת==
* [[ארנון אברון]], '''משפטי גדל ובעיית יסודות המתמטיקה''', [[משרד הביטחון - ההוצאה לאור]], 1998.
* [[דאגלס הופשטטר]], '''[[גדל, אשר, באך|גדל, אשר, באך - גביש בן-אלמוות]]''', תרגמו: טל כהן וירדן ניר בוכבינדר, [[הוצאת דביר]], 2011.
* [[רבקה גולדסטיין]], '''ההוכחה והפרדוקס - משפטי אי־השלמותהאי-שלמות של קורט גדל''', 2006
* [[מריוס כהן]], "משפטי אי-השלמות של גדל", [[גליליאו (כתב עת)|'''גליליאו''']] 106, יוני 2007