דיסקרימיננטה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 26:
נניח ש- <math>K \subseteq L</math> היא [[הרחבת שדות]] [[הרחבה ספרבילית|ספרבילית]] בעלת ממד סופי. במקרה כזה מוגדרת העתקת ה[[עקבה (אלגברה)|עקבה]], שהיא [[העתקה לינארית]] <math>\ Tr_{L/K}:L\rightarrow K</math>. העקבה מאפשרת להגדיר [[תבנית בילינארית]] סימטרית <math>\ L \times L \to K</math> הנקראת '''תבנית העקבה''': <math>\left( {\alpha ,\beta } \right) \mapsto Tr_{L/K} \left( {\alpha \beta } \right)</math>.
אם בוחרים [[בסיס (אלגברה לינארית)|בסיס]] <math>\ \beta _1 ,....,\beta _m</math> ל- L כ[[מרחב וקטורי]] מעל K, אפשר להציג את ה[[תבנית ריבועית|תבנית]] במטריצה על פי בסיס זה; ה[[דטרמיננטה]] של המטריצה המתקבלת, <math>\ D\left( {\beta _1 ,....,\beta _m } \right) = \det \left( {Tr_{B/A} \left( {\beta _i \beta _j } \right)} \right)</math>, היא ה'''דיסקרימיננטה''' של הבסיס <math>\ \beta _1 ,....,\beta _m</math>. החלפת בסיס תכפיל את המטריצה בריבוע הדטרמיננטה של [[מטריצת מעבר|מטריצת המעבר]]. על-פי ההגדרה, הדיסקרימיננטה של ההרחבה <math>\ L/K</math> היא הדיסקרימיננטה של בסיס כלשהו של ההרחבה, [[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] כפל בריבוע של איבר של החבורה הכפלית <math>\ L^{\times}</math>. זהו, אם-כך, איבר של חבורת המנה <math>\ L^{\times}/(L^{\times})^2</math>. במצבים עדינים יותר מגדירים את הדיסקרימיננטה של [[חוג השלמים]] <math>\ \mathcal{O}_K</math> של [[שדה מספרים]] K מעל [[חוג המספרים השלמים]] <math>\ \mathbb{Z}</math>, במקום את זו של השדה K עצמו מעל הרציונליים. ההגדרה זהה לזו של שדות, אלא שבוחרים את <math>\ \beta _1 ,....,\beta _m</math> להיות בסיס של <math>\ \mathcal{O}_K</math> כמודול מעל <math>\ \mathbb{Z}</math>.
אם ההרחבה L/K היא [[הרחבת גלואה]], אז מספר האוטומורפיזמים של L מעל K שווה לממד ההרחבה, m, ואפשר לסמן אותם באותיות <math>\ \sigma_1,\dots,\sigma_m</math>. הדיסקרימיננטה של בסיס <math>\ \beta _1 ,....,\beta _m</math> של L מעל K שווה לריבוע הדטרמיננטה <math>\ (\det(\sigma_i(\beta_j)))^2</math>.
| |||