משפט גאוס-בונה – הבדלי גרסאות

נוספו 292 בתים ,  לפני 4 שנים
אין תקציר עריכה
יהי M [[משטח רימן]] [[קבוצה קומפקטית|קומפקטי]]. נסמן ב-K את עקמומיות גאוס של המשטח. אם המשטח נטול שפה, מתקיים <math>\int_M K\;dA =2\pi\chi(M), \, </math>, כאשר ''dA'' הוא אלמנט השטח של המשטח, ו-<math>\chi(M)</math> הוא מציין אוילר (שהוא תמיד מספר שלם). כידוע, אם המשטח [[אוריינטביליות|בר-כיוון]], אז מציין אוילר שלו שווה ל-<math>2-2g</math>, כאשר g הוא ה[[גנוס (טופולוגיה)|גנוס]] של המשטח.
 
אם למשטח יש שפה <math>\partial M</math>, נסמן ב-<math>k_g</math> את [[עקמומיות גיאודזית|העקמומיות הגאודזית]] של השפה. אז <math>\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M), \, </math>, כאשר ''ds'' הוא אלמנט האורך של השפה. במקרה שהשפה [[עקום חלק למקוטעין|חלקה למקוטעין]], יש לפרש את האינטגרל <math>\int_{\partial M}k_g\;ds</math> כסכום של האינטגרלים על הקטעים החלקים, ועוד סכום הזוויות בפינות. כאשר מפרשים בצורה זו את האינטגרל הקווי, ניתן לראות בבירור כיצד המשפט מכליל תוצאות רבות שקדמו לו; [[משפט ג'ירארד]] ומשפט דאקרט על פאונים הם תוצאות מיידיות מן המשפט.
 
== דוגמאות והשלכות ==