גבול (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

את ההדורים האלה יישר המתמטיקאי [[אוגוסטין לואי קושי|קושי]], שהציע ניסוח של מושגי הגבול השונים בתור תנאי. במקום לומר ש"כאשר x הולך ומתקרב ל-2, המרחק בין ערכה של הפונקציה <math>\ f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> לבין המספר 4 הולך וקטן לאפס", נתן קושי הגדרה מדויקת: "לכל מספר חיובי <math>\ \varepsilon</math>, קיים מספר חיובי <math>\ \delta</math>, כך שאם המרחק מ- <math>x</math> ל-2 אינו עולה על <math>\ \delta</math>, אז המרחק מ- <math>\ f(x)</math> ל-4 אינו עולה על <math>\ \varepsilon</math>". הגדרה זו לגבול של פונקציה, יחד עם הגדרות דומות לגבול של סדרה, אפשרו ל[[אוגוסטן לואי קושי|קושי]] ו[[קרל ויירשטראס|ויירשטראס]] להוכיח את המשפטים החשובים בחשבון האינפיניטסימלי, כפי שהם מוכרים היום. השימוש ב <math>\ \varepsilon</math> (אפסילון) איפשר להגביל [[רציפות (פילוסופיה)|רציפות]] הסדרה.