הבדלים בין גרסאות בדף "גבול (מתמטיקה)"

הוסרו 147 בתים ,  לפני 3 שנים
ביטול גרסה: מה?
(הסבר לגבי הסיבה לאפקטיביות ההגדרה המודרנית של מושג הגבול.)
(ביטול גרסה: מה?)
רעיונות אלה שוכללו במידה ניכרת כאשר פיתחו [[לייבניץ]] ו[[אייזק ניוטון|ניוטון]] את החשבון האינפיניטסימלי, העוסק בתכונות של פונקציות ממשיות. האנליזה החדשה הייתה מבוססת על מושגים כגון "גודל הקטן לאינסוף" ו"גודל הגדל לאינסוף", ולמרות ההצלחה המיידית שלה בחישובים שלא ניתן היה לעשות קודם לכן, מנקודת המבט המודרנית היו בה פגמים לא מעטים.
 
את ההדורים האלה יישר המתמטיקאי [[אוגוסטין לואי קושי|קושי]], שהציע ניסוח של מושגי הגבול השונים בתור תנאי. במקום לומר ש"כאשר x הולך ומתקרב ל-2, המרחק בין ערכה של הפונקציה <math>\ f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> לבין המספר 4 הולך וקטן לאפס", נתן קושי הגדרה מדויקת: "לכל מספר חיובי <math>\ \varepsilon</math>, קיים מספר חיובי <math>\ \delta</math>, כך שאם המרחק מ- <math>x</math> ל-2 אינו עולה על <math>\ \delta</math>, אז המרחק מ- <math>\ f(x)</math> ל-4 אינו עולה על <math>\ \varepsilon</math>". הגדרה זו לגבול של פונקציה, יחד עם הגדרות דומות לגבול של סדרה, אפשרו ל[[אוגוסטן לואי קושי|קושי]] ו[[קרל ויירשטראס|ויירשטראס]] להוכיח את המשפטים החשובים בחשבון האינפיניטסימלי, כפי שהם מוכרים היום. השימוש ב <math>\ \varepsilon</math> (אפסילון) איפשר להגביל [[רציפות (פילוסופיה)|רציפות]] הסדרה.
 
== גבולות שונים ==