תבנית דיפרנציאלית – הבדלי גרסאות

ניסוח וסדר
מ
(ניסוח וסדר)
 
==הגדרה==
באופןעבור כללי,שני ניתןמספרים לדבר[[מספר על תבניתטבעי|טבעיים]] <math>k-דיפרנציאלית (וכשההקשר\le ברורn</math>, נאמר פשוטנגדיר תבנית <math>k)</math>-דיפרנציאלית במרחב <math>{\mathbb {R} }^{n}</math>, כאשרשתחומה <math>k\leהוא n</math> מספרים [[מספר טבעי|טבעיים]] כלשהם, ו-<math>\Omega \subset { \mathbb {R} }^{ n }</math>.
 
נאמר ש[[פונקציה]] <math>f:{ ({ \mathbb {R} }^{ n }) }^{ k }\rightarrow \mathbb {R}</math> היא '''חילופית''', אם לכל
<math> { v }_{ 1 },...\dots,{ v }_{ k }\in { \mathbb {R} }^{ n }</math> ולכל <math>1\le i < j\le k</math> מתקיים
<math>f({ v }_{ 1 },..\dots,{ v }_{ i },..\dots,{ v }_{ j },..\dots,{ v }_{ k })=-f({ v }_{ 1 },..\dots,{ v }_{ j },..\dots,{ v }_{ i },..\dots,{ v }_{ k })</math>.
 
נאמר ש-<math>f</math> היא '''פונקציה מולטילינארית''', אם לכל <math>{ v }_{ 1 },...\dots,{ v }_{ k },w \in { \mathbb {R} }^{ n };a,b\in \mathbb {R}</math> ולכל
<math>1\le i\le k</math> מתקיים
<math>f({ v }_{ 1 },...\dots,a{ v }_{ i } + bw,... \dots, { v }_{ k })=af({ v }_{ 1 },...\dots,{ v }_{ i },...\dots, { v }_{ k }) + bf({ v }_{ 1 },... \dots, w,... \dots, { v }_{ k })</math>.
 
נסמן את מרחב הפונקציות ה-k מולטילינאריות ומתחלפות ב-<math>{ \Lambda }^{ k }({ \mathbb {R} }^{ n })</math>. קבוצה זו היא [[מרחב וקטורי]] מעל הממשיים.
 
אם כן, '''תבנית k-דיפרנציאלית ב-<math>\mathbb{R}^{n}</math>''' בעלת התחום <math>\Omega\subset{\mathbb{R}}^{n}</math> היא פונקציה <math>\omega :\Omega \rightarrow { \Lambda }^{ k }({ \mathbb {R} }^{ n })</math>.
 
מגדירים גם תבנית 0-דיפרנציאלית פשוט על ידי <math>\omega =f(x)</math> כאשר f [[פונקציה ממשית]] שתחומה <math>\Omega</math>.
 
==מבנה כללי==
 
לצורך מציאת מבנה זה, נכליל את ה[[הטלה (מתמטיקה)|הטלות]] מ[[משתנה]] אחד לכמה משתנים, באופן הבא: לכל אינדקסים
<math>1\le {i_1 i< }_{i_2 1 }<{\dots i }_{ 2 }<...<{ i }_{ ki_k }\le n</math> נגדיר תבנית k :
<math>{ \pi }_pi_{ { i }_{ 1 }i_1,{ i }_{ 2 }i_2,...\dots,{ i }_{ k } i_k}({ v }^{ 1 },...\dots,{ v }^{ k })=\det\begin{pmatrix} { { v }^{ 1 } }_{ { i }_{ 1 } i_1} & ...\dots & { { v }^{ k } }_{ { i }_{ 1 } i_1} \\ ...\dots & ...\dots & ...\dots \\ { { v }^{ 1 } }_{ { i }_{ k } i_k} & ...\dots & { { v }^{ k } }_{ { i }_{ k } i_k} \end{pmatrix}</math>
 
(כאשר det היא ה[[דטרמיננטה]]), שתקרא ההטלה לפי ה[[אינדקס (מתמטיקה)|אינדקסים]] <math>{ i }_{ 1 }i_1,{ i }_{ 2 }i_2,...\dots,{ i }_{ k }i_k</math> ב-<math>{ \mathbb {R} }^{ n }</math>.
נהוג גם לסמן תבנית זו על ידי <math>{ dx }_{ { i }_{ 1 } i_1}\wedge { dx }_{ { i }_{ 2 } i_2}\wedge ...\dots \wedge { dx }_{ { i }_{ k } i_k}</math>, כאשר <math>\wedge </math> מכונה "wedge product" (ראו "פעולות על תבניות" בהמשך).
 
ניתן להוכיח כי הקבוצה <math>\{ \pi_{i_1, i_2, \pi dots ,i_k}_{ {: i1\le }_{i_1 1< },{i_2 i< }_{\dots 2< },...,{i_k i\le n\}_{ k</math> }היא }:בסיס 1ל <math>\Lambda^k({\lemathbb { i R}_}^{ 1 n})<{/math>, iובפרט }_{ממדו 2הוא }<...<{ה[[מקדם iבינומי|מקדם }_{הבינומי]] k }<math>\letbinom n\}nk </math> היא בסיס ל.
<math>{ \Lambda }^{ k }({ \mathbb {R} }^{ n })</math>, ובפרט ממדו הוא ה[[מקדם בינומי|מקדם הבינומי]] <math> \tbinom nk </math>.
 
אם כן, כל תבנית k ניתן לרשום מהצורה
<math>\omega =\sum { { \omega }_omega_{i_1, { i }_{ 1 }i_2,{ i\dots }_{ 2 },...,{ i i_k}_{ k } }{ \pi }_pi_{i_1, { i }_{ 1 }i_2,{\dots i }_{ 2 },...,{ i }_{ k } } i_k} =\sum { { \omega }_omega_{ { i }_{ 1 }i_1,{ i }_{ 2 }i_2,...\dots,{ i i_k}_{ k } }{ dx }_{ { i i_1}_{ 1 } }\wedge { dx }_{ { i }_{ 2 } }\wedgedots ...\wedge { dx }_{ { i i_k}_{ k } } } </math>
כאשר הסכום הוא על כל האינדקסים הסדורים, ו-<math>{ \omega }_{i_1, { i }_{ 1 }i_2,{ i\dots }_{ 2 },...,{ i }_{ k } i_k}</math> פונקציות ממשיות שתחומן הוא <math>\Omega \subset { \mathbb {R} }^{ n }</math>.
 
==דוגמאות==
 
* במקרה k=n=1, תבנית -1 כללית היא מהצורה <math>fdx</math>, כאשר f [[פונקציה ממשית]].
* תבנית-21 כללית ב<math> {\mathbb {R}} ^{ 3 n}</math> היא מהצורה <math>p(x,y,z)dy\wedgef_1 dz+Q(d{x,y,z)dz}_1+ \wedgedots dx+R(x,y,z)dx\wedge dyf_n d{x}_n</math>, כאשר P<math>f_1,Q \dots ,Rf_n</math> פונקציות ממשיות.
 
* תבנית-12 כללית ב<math> {\mathbb {R} }^{ n 3}</math> היא מהצורה <math>{p(x,y,z)dy\wedge fdz }_{ 1 }d{+ Q(x,y,z)dz\wedge }_{dx 1 }+...+{ f }_{ n }d{ R(x,y,z)dx\wedge }_{ n }dy</math>, כאשר <math>{ f }_{ 1 }P,...Q,{ f }_{ n }</math>R פונקציות ממשיות.
 
* תבנית-2 כללית ב<math> {\mathbb {R}} ^{ 3 }</math> היא מהצורה <math>p(x,y,z)dy\wedge dz+Q(x,y,z)dz\wedge dx+R(x,y,z)dx\wedge dy</math>, כאשר P,Q,R פונקציות ממשיות.
 
==פעולות על תבניות==
* '''סכום''' - אם <{math>\omega =\sum{\omega_{i_1, \dots , i_k}{dx}_{i_1}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_k}} ;\tau =\sum{\tau_{i_1, \dots ,i_k}{dx}_{i_1}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_k}} </math> שתי תבניות-k, אז החיבור ביניהן מוגדר באופן הטבעי - <math>\omega +\tau =\sum{(\omega_{i_1, \dots , i_k} + \tau_{i_1, \dots , i_k}){dx}_{i_1} \wedge \dots \wedge {dx}_{i_k} } </math>.
 
*'''מכפלה''' - אם <math>\omega =\sum{\omega_{i_1, \dots ,i_k}{dx}_{i_1} \wedge \dots \wedge{dx}_{i_k}} </math> תבנית-<math>k</math> ו-<math>\tau =\sum{\tau_{j_1, \dots, j_l}{dx}_{j_1} \wedge \dots \wedge {dx}_{j_l}} </math> תבנית-<math>l</math>, אז מכפלת התבניות היא תבנית-<math>k+l</math> המוגדרת כך:
* '''סכום'''
<math>\omega \wedge \tau =\sum{\omega_{i_1, \dots , i_k} \tau_{j_1, \dots , j_l}{dx}_{i_1}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_k}} \wedge {dx}_{j_1}\wedge \dots \wedge {dx}_{j_l}</math>
 
אם <math>\omega =\sum { { \omega }_{ { i }_{ 1 },...,{ i }_{ k } }{ dx }_{ { i }_{ 1 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { i }_{ k } } } ;\tau =\sum { { \tau }_{ { i }_{ 1 },...,{ i }_{ k } }{ dx }_{ { i }_{ 1 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { i }_{ k } } } </math>
שתי תבניות-k, אז החיבור ביניהן מוגדר באופן הטבעי -
<math>\omega +\tau =\sum { ({ \omega }_{ { i }_{ 1 },...,{ i }_{ k } }+{ \tau }_{ { i }_{ 1 },...,{ i }_{ k } }){ dx }_{ { i }_{ 1 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { i }_{ k } } } </math>.
 
*'''מכפלה'''
 
אם <math>\omega =\sum { { \omega }_{ { i }_{ 1 },...,{ i }_{ k } }{ dx }_{ { i }_{ 1 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { i }_{ k } } } </math> תבנית-k,
ו-<math>\tau =\sum { { \tau }_{ { j }_{ 1 },...,{ j }_{ l } }{ dx }_{ { j }_{ 1 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { j }_{ l } } } </math> תבנית-l,
אז מכפלת התבניות היא תבנית-k+l המוגדרת כך:
<math>\omega \wedge \tau =\sum { { \omega }_{ { i }_{ 1 },...,{ i }_{ k } }{ \tau }_{ { j }_{ 1 },...,{ j }_{ l } }{ dx }_{ { i }_{ 1 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { i }_{ k } } } \wedge { dx }_{ { j }_{ 1 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { j }_{ l } }</math>
 
למשל, ב-<math>{\mathbb {R} }^{3}</math> מתקיים <math>(xdy+zdx)\wedge dz=xdy\wedge dz+zdx\wedge dz</math>.
 
*'''דיפרנציאל'''
 
למשל, ב-<math>{\mathbb {R} }^{3}</math> מתקיים <math>(xdy + zdx) \wedge dz=xdy \wedge dz +zdx z dx \wedge dz</math>.
פעולה זו מכלילה את ה[[דיפרנציאל (מתמטיקה)|דיפרנציאל]] של פונקציה ממשית לתבניות דיפרנציאליות.
 
*'''דיפרנציאל''' - פעולה זו מכלילה את ה[[דיפרנציאל (מתמטיקה)|דיפרנציאל]] של פונקציה ממשית לתבניות דיפרנציאליות. נאמר שתבנית <math>\omega =\sum{\omega_{i_1, \dots , i_k}{dx}_{i_1} \wedge \dots \wedge {dx}_{i_k}} </math> היא תבנית דיפרנציאבילית אם הפונקציות <math>\omega_{i_1, \dots , i_k}</math> כולן דיפרנציאביליות. אם כך, מגדירים את הדיפנציאל של התבנית להיות ה-<math>k+1</math> תבנית הבאה:
נאמר שתבנית
<math>d \omega = \sum { d{ \omega}_{i_1, \dots , i_k}{dx}_{i_1} {\wedge i\dots \wedge {dx}_{i_k}} =\sum{\sum_{t=1 },...,^{ i n}{\frac{{\partial\omega}_{i_1, k\dots, i_k} }{ dx \partial{x}_{t} d} { ix }_{ 1 t} }\wedge ...\wedge { dx }_{i_1}\wedge {\dots i\wedge {dx}_{ k i_k} } } </math>.
היא תבנית דיפרנציאבילית אם הפונקציות <math>{ \omega }_{ { i }_{ 1 },...,{ i }_{ k } }</math> כולן דיפרנציאביליות. אם כך, מגדירים את הדיפנציאל של התבנית להיות ה-k+1 תבנית הבאה:
<math>d\omega =\sum { d{ \omega }_{ { i }_{ 1 },...,{ i }_{ k } }{ dx }_{ { i }_{ 1 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { i }_{ k } } } =\sum { \sum _{ t=1 }^{ n }{ \frac { { \partial \omega }_{ { i }_{ 1 },...,{ i }_{ k } } }{ \partial { x }_{ t } } d } { x }_{ t }\wedge { dx }_{ { i }_{ 1 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { i }_{ k } } } </math>.
 
תבנית נקראת '''מדויקת''', אם היא [[דיפרנציאל (מתמטיקה)|דיפרנציאל]] של תבנית אחרת. תבנית נקראת '''סגורה''', אם ה[[דיפרנציאל (מתמטיקה)|דיפרנציאל]] שלה שווה זהותית לאפס.