הבדלים בין גרסאות בדף "איזומורפיזם"

הוסרו 4 בתים ,  לפני שנתיים
מ
אין תקציר עריכה
מ
{{פירוש נוסף|נוכחי=מונח מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], '''אִיזוֹמוֹרְפִיזְם''' זה התאמה בין שני [[מבנה (מתמטיקה)|מבנים]] שמתאפשרת ההתאמה ביניהםמתמטיים באופן ששומר על המאפיינים המגדירים את המבנה. במקרה שכזה, הם המבנים מכונים '''איזומורפיים'''. קיומה של ההתאמה מראה ששני המבנים חולקים אותן תכונות, גם אם הם נקראים בשמות שונים. איזומורפיזם בין מבנים מראה שהם זהים מכל בחינה בעלת עניין במסגרת התורה בה עוסקיםהעוסקת בהם. מקור המלה מ[[יוונית]]: "איזוס" (שווה) ו"מורפֶה" (מבנה).
 
ב[[מתמטיקה]], '''אִיזוֹמוֹרְפִיזְם''' זה התאמה בין שני [[מבנה (מתמטיקה)|מבנים]] שמתאפשרת ההתאמה ביניהם באופן ששומר על המאפיינים המגדירים את המבנה. במקרה שכזה, הם המבנים מכונים '''איזומורפיים'''. קיומה של ההתאמה מראה ששני המבנים חולקים אותן תכונות, גם אם הם נקראים בשמות שונים. איזומורפיזם בין מבנים מראה שהם זהים מכל בחינה בעלת עניין במסגרת התורה בה עוסקים בהם. מקור המלה מ[[יוונית]]: "איזוס" (שווה) ו"מורפֶה" (מבנה).
 
בכמה מקרים קוראים למבנים איזומורפיים בשם מיוחד: איזומורפיזם של [[מרחב טופולוגי|מרחבים טופולוגיים]] נקרא "[[הומיאומורפיזם]]", איזומורפיזם של [[יריעה|יריעות דיפרנציאליות]] נקרא "[[דיפאומורפיזם]]", ואיזומורפיזם של [[מרחב מטרי|מרחבים מטריים]] נקרא "[[איזומטריה]]". השם הייחודי מדגיש תכונות מסוימות של המבנה ומונע בלבול (למשל, בשאלה האם שני מרחבים מטריים איזומורפיים ככאלה, או רק כמרחבים טופולוגיים).
אם <math>S_1</math> ו-<math>S_2</math> הם שני [[מבנה (לוגיקה)|מבנים מתמטיים]] של אותה [[שפה מסדר ראשון|שפה]] L של [[תחשיב היחסים]], אז [[פונקציה]] <math>\ H:S_1\rightarrow S_2</math> נקראת '''איזומורפיזם''' ביניהם אם:
* לכל קבוע a של השפה L מתקיים <math>\ H(S_1(a)) = S_2(a)</math>.
* עבור כל [[אופרטור|פעולה]] n-מקומית F של L: לכל <math>\ a_1,...,a_n\in S_1</math> מתקיים <math>\ H(S_1(F(a_1,...,a_n)))=S_2(F(H(a_1),...,H(a_n)))</math>.
* עבור כל [[יחס]] n-מקומי R של L, לכל <math>\ a_1,...,a_n\in S_1</math> מתקיים <math>\ S_1(R(a_1,...,a_n))</math> אם ורק אם <math>\ S_2(R(H(a_1),...,H(a_n)))</math>.
* H [[חד-חד ערכית]] מ-<math>S_1</math> [[התאמה על|על]] <math>S_2</math>.
 
===איזומורפיזם בין חבורות===
 
אם <math>\ A</math> ו<math>\ B</math> הן שתי [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]], וקיימת [[פונקציה חד-חד ערכית ועל]] <math>\ f: A \mapsto B</math> כך שעבור כל צמד איברים <math>\ \alpha,\beta \in A</math> מתקיים <math>\ f(\alpha \cdot \beta) = f(\alpha) \cdot f(\beta)</math>, אז <math>\ A</math> ו<math>\ B</math> איזומורפיות זו לזו. אפשר להבין את ה"שוויון" בין החבורות, על ידי כך שנסמן את האיברים <math>\ f(\alpha),f(\beta)\in B</math> פשוט כ <math>\ \alpha,\beta</math>. לכן אפשר לראות שלכל מטרה מעשית, ההבדל בין החבורות הוא הבדל בסימון בלבד.
 
אפשר לראות שהאיזומורפיזם מקיים [[יחס שקילות]]:
===איזומורפיזם בין חוגים===
 
באופן דומה, אם <math>\ A</math> ו<math>\ B</math> הם שני [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]], וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל <math>\ f: A \mapsto B</math> כך שעבור כל צמד איברים <math>\ \alpha,\beta \in A</math> מתקיים <math>\ f(\alpha \cdot \beta) = f(\alpha) \cdot f(\beta)</math>, <math>\ f(\alpha + \beta) = f(\alpha) + f(\beta)</math> וגם <math>\ f(1)=1 </math> (התנאי האחרון רלוונטי רק לחוגים עם יחידה) אז <math>\ A</math> ו<math>\ B</math> איזומורפיים זה לזה.<br>
 
===איזומורפיזם בין מודולים===
באופן דומה, אם <math>\ A</math> ו<math>\ B</math> הם שני [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]] שמאליים מעל חוג <math>\ R</math>, וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל <math>\ f: A \mapsto B</math> כך שעבור כל צמד איברים <math>\ \alpha,\beta \in A</math> מתקיים <math>\ f(\alpha + \beta) = f(\alpha) + f(\beta)</math>, וגם עבור כל <math>r\in R</math> מתקיים <math>\ f(r\alpha ) = r f(\alpha)</math> אז<math>\ A</math> ו<math>\ B</math> איזומורפיים זה לזה.
 
בנוסף, אם <math>\ A</math> ו<math>\ B</math> הם שני מודולים שמאליים מעל שני חוגים <math>\ R_A,R_B</math> איזומורפיים, כשהאיזומורפיזם בין שני החוגים הוא <math>\ g:R_A \mapsto R_B</math> וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל <math>\ f: A \mapsto B</math> כך שעבור כל צמד איברים <math>\ \alpha,\beta \in A</math> מתקיים <math>\ f(\alpha + \beta) = f(\alpha) + f(\beta)</math>, וגם עבור כל <math>r\in R_A</math> מתקיים <math>\ f(r\alpha ) = g(r) f(\alpha)</math> אז <math>\ A</math> ו<math>\ B</math> איזומורפיים זה לזה.
 
===איזומורפיזם בין אלגברות===
 
באופן דומה, אם <math>\ A</math> ו<math>\ B</math> הן שתי [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברות]] שמקיימות את תנאי האיזומורפיות כמודול עברועבור הפונקציה <math>\ f: A \mapsto B</math> ובנוסף עבור כל צמד איברים <math>\ \alpha,\beta \in A</math> מתקיים <math>\ f(\alpha \star \beta) = f(\alpha) \star f(\beta)</math>, אז<math>\ A</math> ו<math>\ B</math> איזומורפיות זו לזו.
 
==איזומורפיזם בין גרפים==
 
אם <math>\ (V_1,E_1)</math> ו<math>\ (V_2,E_2)</math> הם שני [[תורת הגרפים|גרפים]], וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל <math>\ f: V_1 \mapsto V_2</math> כך שקיימת קשת ב<math>\ E_1</math> בין <math>\ v\in V_1</math> לבין <math>\ u\in V_1</math> [[אם ורק אם]] קיימת קשת ב<math>\ E_2</math> בין <math>\ f(v)\in V_2</math> לבין <math>\ f(u)\in V_2</math> אז הגרפים איזומורפיים זה לזה.
 
==ראו גם==