פעולת חבורה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ שינוי סדר הפרקים; עימוד בפרק קישורים חיצוניים (בוט סדר הפרקים) |
|||
שורה 31:
אפשר להבחין בין כמה סוגים של פעולות חשובות. ראשית, חבורה יכולה לפעול על קבוצה חסרת מבנה (בדרך כלל סופית), או על חבורה אחרת. לדוגמה, החבורה הסימטרית <math>\ S_n</math> פועלת על קבוצת המספרים <math>\ \{1,2,\dots,n\}</math>. כל חבורה G פועלת על עצמה, על ידי כפל משמאל: <math>\ g(h)=gh</math>. פעולה זו נקראת '''הפעולה הרגולרית'''. באופן כללי יותר, אם <math>\ H\leq G</math> [[תת חבורה]] (שאינה בהכרח [[תת חבורה נורמלית|נורמלית]]), G פועלת על אוסף ה[[קוסט]]ים <math>\ G/H</math>, שוב על ידי כפל משמאל: <math>\ g(g'H)=gg'H</math>. לפעולה זו יש יישום מיידי ב[[משפט קיילי]] ו[[העידון של משפט קיילי|העידון שלו]]. פעולה חשובה אחרת היא ה[[הצמדה (תורת החבורות)|הצמדה]]: G פועלת על עצמה לפי <math>\ g : x \mapsto gxg^{-1}</math>. באופן כללי יותר, G פועלת על ידי הצמדה על כל חבורת מנה <math>\ G/H</math>: <math>\ g : xH \mapsto g x g^{-1} H</math>.
פעולה מסוג קצת אחר היא הפעולה של חבורה על קבוצה בעלת מבנה, כמו [[מרחב וקטורי]] או [[מרחב טופולוגי]]. כאן דורשים כמעט תמיד שהחבורה תכבד את המבנה הקיים: איברי החבורה אינם יכולים להיות סתם פונקציות, אלא למשל [[טרנספורמציה לינארית|פונקציות לינאריות]] (במקרה הראשון) או [[רציפות (טופולוגיה)|רציפות]] (במקרה השני). במקרה הראשון ההצגה אינה סתם הומומורפיזם של החבורה אל החבורה הסימטרית של כל הווקטורים במרחב (חבורה זו הורסת לחלוטין את המבנה החיבורי, ולכן אין לה שום חשיבות), אלא אל החבורה של כל הטרנספורמציות הלינאריות ההפיכות <math>\ GL(V)</math>, שהיא [[חבורת מטריצות|חבורת המטריצות ההפיכות]] <math>\ GL_n(F)</math> (כאשר n הוא ממד המרחב מעל שדה F). החבורה פועלת על הווקטורים על ידי [[כפל מטריצות]] רגיל. הפעולות השונות של חבורה על מרחבים וקטוריים (בדרך כלל מ[[ממד (מתמטיקה)|ממד]] סופי) הם האובייקט היסודי ב[[
כדוגמה נוספת, חבורה יכולה לפעול על קבוצת הקודקודים של גוף מישורי או מרחבי, תחת האילוץ שהגוף יתפוס בסיום הפעולה את אותו המקום שתפס לפניה. לדוגמה, חבורה הפועלת על קודקודיו של [[מצולע משוכלל]] בעל n קודקודים היא תת-חבורה של [[החבורה הסימטרית]] <math>\ S_n</math>, שאיבריה שומרים על יחסי השכנות של קודקודי המצולע. הפעולות המותרות הן סיבוב או שיקוף המצולע. חבורה זו נקראת [[החבורה הדיהדרלית]] מסדר 2n.
| |||