גאומטריה לא-אוקלידית – הבדלי גרסאות

הגאומטריה האוקלידית, המוגדרת על ידי האקסיומות שתיאר [[אוקלידס]] ב[[יסודות (ספר)|יסודות]], נחשבה מאות בשנים לגאומטריה המתארת את הטבע. עם זאת, האקסיומה החמישית של אוקלידס, [[אקסיומת המקבילים]], מורכבת ביחס לשאר האקסיומות, והיא נתפסה כפחות טבעית. לפיכך נעשו מאמצים רבים להוכיח שאקסיומה זו נובעת מהאקסיומות האחרות, כלומר – אינה אקסיומה אלא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]]. מאמצים אלה עלו בתוהו במשך מאות שנים, עד שבראשית [[המאה ה-19]] הבינו מתמטיקאים אחדים שנדרש כיוון שונה.

 

לרעיון שניתן להחליף את אקסיומת המקבילים באקסיומה אחרת, ובכך לקבל [[גאומטריה]] שונה מהגאומטריה האוקלידית אך תקפה באותה מידה, הגיע לראשונה [[קרל פרידריך גאוס|גאוס]], שחשש לפרסם רעיון כה חדשני. גאוס גילה רבות מהתכונות היסודיות של הגאומטריה הלא אוקלידית (או, באופן ספציפי יותר, של הגאומטריה ההיפרבולית): אי-האפשרות של צורות דומות, קיומו של אורך אבסולוטי א-פריורי (absolute length), גילה והוכיח את הקשר בין האינטגרל על [[עקמומיות גאוס|עקמומיות]] המשטח לגירעון הזוויתי של משולש על פניו (ההפרש בין סכום זוויותיו ל-180 מעלות), מצא נוסחה לשטח המקסימלי של משולש בגאומטריה היפרבולית, וכן נוסחה להיקף מעגל בגאומטריה היפרבולית. אחריו, בשנות העשרים של המאה ה-19, הגיעו לרעיון באופן בלתי תלוי המתמטיקאי הרוסי [[ניקולאי איוונוביץ' לובצ'בסקי]] וקצין הצבא ההונגרי [[יאנוש בויאי]]. אחת הגרסאות הלא־אוקלידיות, ה'''[[גאומטריה היפרבולית|גאומטריה ההיפרבולית]]''', אומרת שדרך [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] מחוץ ל[[ישר]] עוברים [[אינסוף]] [[ישרים מקבילים]] לישר זה (ולא אחד בלבד כבגאומטריה האוקלידית). בגרסה אחרת של גאומטריה לא־אוקלידית, ה'''[[גאומטריה פרויקטיבית|גאומטריה הפרויקטיבית]]''' וה'''[[גאומטריה כדורית|גאומטריה הכדורית]]''', שאותן פיתח [[ברנרד רימן]], תלמידו של גאוס, אומרת האקסיומה שכל שני קווים ישרים - נפגשים. בגאומטריה זו לא קיימים ישרים מקבילים.