הבדלים בין גרסאות בדף "חבורה (מבנה אלגברי)"

מ
בוט החלפות: \1איברים
מ (הוספת שורת קישורים חיצוניים ותחתיה {{תב|ויקישיתוף בשורה}} במידה וחסר (תג) (דיון))
מ (בוט החלפות: \1איברים)
== קשרים בין חבורות למבנים כלליים יותר ==
 
איבר היחידה של חבורה הוא ה[[אידמפוטנט]] היחיד בה. ב[[חבורה למחצה]] יש בדרך כלל אידמפוטנטים רבים, והקשרים ביניהם מאפשרים לבנות במדורג משפחות של חבורות למחצה שיש להן דמיון מסוים לחבורות. למשל, [[חבורה למחצה הפיכה]] היא חבורה למחצה שבה לכל x קיים y יחיד כך ש-xyx=x ו-yxy=y; במקרה זה מסמנים <math>\ x^{-1}=y</math>. בחבורה למחצה סופית S, לכל אידמפוטנט e, קבוצת האבריםהאיברים המקיימים <math>\ xx^{-1}=x^{-1}x=e</math> היא תת-החבורה המקסימלית של S ש-e הוא איבר היחידה שלה.
 
ב[[מונואיד]], שהוא חבורה למחצה עם איבר יחידה 1, אפשר לדרוש שאיבר a יהיה "הפיך מימין" (קיים b כך ש- ab=1) או "הפיך משמאל" (קיים b כך ש-ba=1). איבר a שהוא הפיך גם מימין וגם משמאל הוא הפיך, כלומר, יש b המקיים בו-זמנית ab=ba=1. בכל מונואיד, אוסף האיברים ההפיכים סגור לכפל (בגלל התכונה <math>\ (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}</math>), והוא מהווה לכן חבורה. אם כל איבר של המונואיד הוא הפיך משמאל, אז כולם הפיכים, והמונואיד הוא חבורה. לעומת זאת קיימים מונואידים שאינם חבורות שבהם לכל a קיימים x,y כך ש-<math>\ xay=1</math>. מונואיד שבו מ-ax=ay תמיד נובע x=y, נקרא "מונואיד עם צמצום משמאל"; כל מונואיד הניתן לשיכון בחבורה הוא בעל צמצום (מימין ומשמאל), אבל ההיפך אינו נכון. מונואיד סופי עם צמצום משמאל הוא חבורה.
==תת-חבורות==
 
תת-קבוצה של חבורה <math>\ G</math> המהווה בעצמה חבורה (ביחס לאותה פעולה בינארית אסוציאטיבית ולאותו איבר יחידה), נקראת '''תת-חבורה'''. כל תת-קבוצה הכוללת יחד עם כל איבר את ההפכי שלו, ויחד עם כל שני אבריםאיברים את מכפלתם, היא תת-חבורה. ה[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] של תת-חבורות הוא תמיד תת-חבורה. כל תת-חבורה H מחלקת את החבורה למחלקות שקילות, הנקראות [[קוסט|קוסטים]], בשני אופנים: מימין, המחלקות הן מהצורה <math>\ gH = \{gh: h\in H\}</math>, ומשמאל, המחלקות הן מהצורה <math>\ Hg = \{hg: h\in H\}</math>. מספר האבריםהאיברים בכל מחלקה (ימנית או שמאלית) שווה למספר האבריםהאיברים בתת-החבורה, ומכאן נובע [[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']]: ה[[סדר של חבורה|סדר]] של תת-חבורה של חבורה סופית, מחלק את הסדר של החבורה. מספר המחלקות (השמאליות או הימניות) של תת-חבורה נקרא ה'''אינדקס''' של תת-החבורה ומסומן <math>\ [G:H]</math>. כאשר החבורות סופיות מתקיים <math>[G:H]=\frac{|G|}{|H|}</math>.
 
מהסדר של חבורה (סופית) אפשר להסיק רבות על המבנה שלה. בין המשפטים הבסיסיים בכיוון זה אפשר למנות את [[משפט קושי (תורת החבורות)|משפט קושי]] על קיומם של אבריםאיברים בעלי סדר ראשוני, ואת [[משפטי סילו]] על קיומן של תת-חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני.
 
בין תת-החבורות, חשובות במיוחד תת-החבורות ה[[תת חבורה נורמלית|נורמליות]], שהן תת-חבורות הכוללות, יחד עם כל איבר, את כל האיברים הצמודים לו. במלים אחרות, תת-חבורה H היא תת-חבורה נורמלית של G אם לכל <math>\ g\in G</math> מתקיים <math>\ gHg^{-1}\sub H</math>; לכן <math>\ gH=Hg</math> לכל g. מכאן נובע שהמחלקות הימניות והשמאליות של תת-חבורה נורמלית שוות זו לזו. על אוסף המחלקות ביחס לתת-חבורה נורמלית H אפשר להגדיר פעולת כפל, ההופכת אותו לחבורה; חבורה זו נקראת '''חבורת המנה''' של G ביחס ל- H, וגודלה הוא האינדקס של H ב G. החבורה עצמה, ותת-החבורה הכוללת את איבר היחידה בלבד, הן תמיד נורמליות. חבורה שאין לה תת-חבורות נורמליות אחרות נקראת [[חבורה פשוטה]]. חבורה שאינה פשוטה אפשר לבנות מתת-חבורה נורמלית ומחבורת המנה, באמצעות תהליך הקרוי [[הרחבה של חבורות]]. נורמליות אינה עוברת בתורשה (כלומר, ייתכן ש- N תת-חבורה נורמלית של H, ו- H תת-חבורה נורמלית של G, בעוד ש- N אינה נורמלית ב- G).
 
ה'''מכפלה''' של תת-חבורות מוגדרת לפי הכפלת האבריםהאיברים, <math>\ H_1 H_2 = \{h_1 h_2 : h_1 \in H_1, h_2 \in H_2\}</math>. זוהי תת-חבורה [[אם ורק אם]] <math>\ H_1 H_2 = H_2 H_1</math>. מכיוון שתת-חבורה נורמלית N מקיימת את הזהות <math>\ xN=Nx</math>, המכפלה שלה עם כל תת-חבורה מהווה תת-חבורה. בפרט, המכפלה של שתי תת-חבורות נורמליות היא תת-חבורה (נורמלית).
 
=== תת-חבורות מיוחדות ===
 
אומרים שאבריםשאיברים a,b בחבורה '''מתחלפים''', אם ab=ba. אוסף האבריםהאיברים המתחלפים עם כל אברי החבורה הוא תת-חבורה שלה, הנקראת '''[[מרכז (תורת החבורות)|מֶרְכָּז]]''' <!-- כף קמוצה --> החבורה; את המרכז של G מקובל לסמן ב- <math>\ Z(G)</math>, על-פי המלה הגרמנית למרכז, Zentrum. המרכז הוא תת-חבורה נורמלית, ובחבורה אבלית הוא שווה לחבורה כולה. יש חבורות, כגון [[החבורה הסימטרית]], שבהן המרכז כולל רק את איבר היחידה. המרכז מוכל בכל תת-חבורה אבלית מקסימלית של החבורה.
 
באופן כללי יותר, לכל תת-חבורה H של חבורה G מסמנים ב- <math>\ C_G(H)</math> את אוסף האבריםהאיברים של G, המתחלפים עם כל אברי H. תת-חבורה זו נקראת ה'''מְרַכֵּז''' <!-- ריש פתוחה --> של H. בפרט, <math>\ Z(G) = C_G(G)</math>. אם <math>\ H \subseteq H_1</math> שתי תת-חבורות של G, אז <math>\ C_G(H_1)\subseteq C_G(H)</math>. לכל תת-חבורה מתקיים <math>\ H \subseteq C_G(C_G(H))</math>, ו- <math>\ C_G(H)=C_G(C_G(C_G(H)))</math>.
 
באופן דומה, מגדירים את ה'''מנרמל''' של H, כתת-החבורה <math>\ \{g \in G : gHg^{-1}=H\}</math>. תת-חבורה זו מכילה את H, והיא תת-החבורה הגדולה ביותר של G שבה H נורמלית.
== יוצרים ויחסים ==
{{ערך מורחב|ייצוג של חבורה}}
קבוצה S של אבריםאיברים בחבורה G היא '''קבוצת יוצרים''' של G, אם תת-החבורה הקטנה ביותר המכילה את S היא G עצמה. חבורה שיש לה קבוצת יוצרים ובה איבר יחיד, נקראת [[חבורה ציקלית]]; כל [[חבורה נוצרת סופית]] היא [[קבוצה בת מנייה|בת מנייה]].
 
היוצרים של חבורה יכולים לקיים ביניהם '''יחסים'''; למשל, חבורת התמורות של שלושה עצמים נוצרת על ידי התמורות <math>\ \sigma = (123), \tau=(12)</math>, המקיימות את היחסים <math>\ \sigma^3 = \tau^2 = (\sigma\tau)^2 =1</math>. חבורה שבין היוצרים שלה אין יחסים כלל נקראת [[חבורה חופשית]]; כל חבורה היא [[חבורת מנה]] של חבורה חופשית.
 
חבורה חופשית גדלה בקצב מעריכי. חבורות אינסופיות אחרות עשויות להציג פונקציות גידול מורכבות יותר. אם X קבוצת יוצרים סופית, מסמנים ב-<math>B_X(n)</math> את קבוצת האבריםהאיברים שאפשר להציג כמכפלה של לכל היותר n אבריםאיברים של B. המספר <math>\ \lim \sqrt[n]{|B_X(n)|}</math> הוא '''קצב הגידול''' של החבורה (ביחס ל-X). מבחינים בשלוש מחלקות של חבורות: אלו שיש להן קבוצת יוצרים שקצב הגידול ביחס אליה הוא 1; אלו שאין להן קבוצה כזו, אבל האינפימום של קצבי הגידול הוא 1; ואלו שבהן האינפימום של קצבי הגידול הוא 1. ב[[חבורה אמנבילית|חבורה לא אמנבילית]] קצב הגידול ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית גדול מ-1.
 
==פעולות יסודיות ואיברים צמודים==