חוג אוקלידי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: \1איברים |
|||
שורה 21:
== תכונות של חוג אוקלידי ==
הפונקציה האוקלידית d מאפשרת לזהות את
{{ניווט|רוחב=360px|יישור=שמאל|כותרת=הוכחה|תוכן=אם uv=1, אז <math>\ d(1)=d(uv)\geq d(u)\geq d(1)</math> ומכאן השוויון. מאידך, אם <math>\ d(u)</math> היא הדרגה הקטנה ביותר האפשרית, חילוק 1 ב- u מראה שלא יכולה להיות שארית; מכאן ש- u מחלק את 1, ואם כך u הפיך.|מוסתר=כן|הסתרה=כן}}
שורה 42:
== קריטריונים לאוקלידיות ==
את התוצאה שהוזכרה לעיל על חוגי השלמים בשדות ריבועיים מרוכבים הוכיח Motzkin{{הערה|1={{כ}}T.S. Motzkin, The Euclidean Algorithm, Bull. Amer. Math. Soc. 55, 1142-1146 (1949).}} בעזרת הקריטריון הבא. מגדירים בחוג R קבוצות <math>\ R_n</math>, כאשר <math>\ R_0=\{0\}</math>, ואילו <math>\ R_n</math> היא קבוצת כל האיברים a, שעבורם לכל מחלקה ב[[חוג מנה|חוג המנה]] <math>\ R/Ra</math> יש נציג מן הקבוצה <math>\ R_{n-1}</math>. בפרט, <math>\ R_1-\{0\}</math> היא קבוצת
בדיקת האוקלידיות כאשר d פונקציה כפלית היא קלה יותר, ואף מספקת במקרים מסוימים אלגוריתם לחישוב השארית. תחום שלמות R הוא אוקלידי ביחס לפונקציה כפלית d אם ורק אם [[שדה שברים|שדה השברים]] F של R מכוסה כולו על ידי ה"כדורים" <math>\ B(a)=\{x\in F| d(x-a)<1\}</math> שמרכזיהם בנקודות ה"שלמות" <math>\ a\in R</math>. מקריטריון זה נובע שאם R אוקלידי ביחס לפונקציה כפלית, אז כל תת-חוג <math>\ R \subseteq R' \subseteq F</math> גם הוא אוקלידי.
| |||