הבדלים בין גרסאות בדף "חבורה למחצה"

נוספו 4 בתים ,  לפני 3 שנים
מ
בוט החלפות: \1איברים
מ (בוט החלפות: \1איברים)
בחבורה למחצה אפשר להגדיר איבר יחידה מימין (איבר e המקיים את היחס xe=x לכל x) ואיבר יחידה משמאל (איבר המקיים את היחס ex=x לכל x). בחבורה למחצה יכולים להיות כמה איברי יחידה מימין, או כמה איברי יחידה משמאל, אבל אם יש בה איבר יחידה מימין ואיבר יחידה משמאל, אז הם מוכרחים להיות שווים זה לזה. חבורה למחצה שיש בה איבר יחידה נקראת [[מונואיד]]. במונואיד אפשר למיין איברים לפי תכונות חד-צדדיות. איבר b הוא ההפכי מימין של a אם ab=1, והוא ההפכי משמאל של a אם ba=1. יחסים אלה אינם נובעים זה מזה באופן כללי, ובמונואידים מסוימים יש איברים הפיכים מימין (או משמאל), שאינם הפיכים. מאידך, אם יש לאיבר a גם הפכי מימין וגם הפכי משמאל, אז הם שווים זה לזה, והאיבר הפיך; במקרה כזה, מסמנים את ההפכי ב- <math>\ a^{-1}</math>. אוסף האיברים ההפיכים במונואיד סגור לכפל (בגלל התכונה <math>\ (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}</math>), והוא מהווה לכן [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]]. איבר z המקיים xz=zx לכל x, נקרא '''איבר אפס'''.
 
[[יחסי גרין]] מוליכים למיון של אברי החבורה לפי האידאלים (הימניים, השמאליים והדו-צדדיים) שהם יוצרים. שלא כמו בחבורות או חוגים, המנה של חבורה למחצה מעל אידאל (דו-צדדי) מתקבלת מכיווץ האידאל לאיבר אחד, כששאר האבריםהאיברים נשארים נבדלים כשהיו.
 
=== אידמפוטנטים ===
=== הפכיים ===
 
במונואיד, אוסף האבריםהאיברים ה[[איבר הפיך|הפיכים]] מהווה חבורה. בחבורה למחצה, בהיעדר איבר יחידה, לא ניתן אפילו להגדיר את המושג 'איבר הפיך' - ועל-כן מסתפקים במושג חלש יותר: y הוא '''הפכי''' (או '''הפכי חלש''') של x אם <math>\ xyx=x</math> ו- <math>\ yxy=y</math> (זהו כמובן [[יחס סימטרי]]). ייתכן שלאותו איבר יהיו הפכיים רבים. אם y הפכי של x, אז <math>\ xy</math> ו- <math>\ yx</math> שניהם אידמפוטנטים. אידמפוטנטים הפוכים זה לזה הם שקולים.
 
== חבורות למחצה רגולריות ==