נורמה (אלגברה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הסרת תו כיווניות |
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: \1איברים |
||
שורה 5:
== הגדרה כללית ==
אם A אלגברה מממד סופי מעל שדה F, אפשר לבחור לה [[בסיס (אלגברה לינארית)|בסיס]] <math>\ b_1,\dots,b_n</math>, ולהתבונן באיבר <math>\ X = x_1 b_1 + \cdots +x_n b_n</math> של האלגברה <math>\ A \otimes_F F(x_1,\dots,x_n)</math> המתקבלת מ[[הרחבת סקלרים]] מ- F לשדה הפונקציות <math>\ F(x_1,\dots,x_n)</math>. ל- X יש פולינום מינימלי מתוקן הנקרא '''הפולינום המינימלי הגנרי''' של A, והמעלה שלו, m, היא ה'''דרגה''' של האלגברה. המקדם האחרון של הפולינום המינימלי, שהוא פולינום הומוגני <math>\ (-1)^{m-1}N</math> ממעלה m במקדמים <math>\ x_1,\dots,x_n</math>, הוא ה'''נורמה''' של
אם מעלת הפולינום המינימלי של איבר שווה לדרגה (וזה כך "כמעט לכל איבר" - ראו [[טופולוגיית זריצקי]]), אז אפשר לקרוא את הנורמה מתוך המקדם החופשי של הפולינום המינימלי עצמו (ללא צורך בבניית הפולינום הגנרי). הנורמה של כל [[מחלק אפס]] היא אפס.
שורה 24:
אפשר להגדיר נורמה של אידאלים בתחום שלמות D, לפי [[עוצמה (מתמטיקה)|גודלו]] של [[חוג מנה|חוג המנה]] <math>\ N(I)=|D/I|</math>. ההגדרה שימושית בעיקר בחוגים שכל המנות שלהם סופיות. ההגדרה מכלילה את הערך המוחלט המקובל במספרים שלמים, משום שהנורמה של האידאל <math>\ n \mathbb{Z}</math> ב[[חוג המספרים השלמים]] היא <math>\ |\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}| = n</math>. עבור אידאלים ראשיים הנוסחה כפלית בכל תחום שלמות: <math>\ |D/Dab|=|D/Da|\cdot |D/Db|</math>.
אם <math>\ D={\mathcal O}_K</math> הוא חוג השלמים של [[שדה מספרים]] K, אז הנורמה היא פונקציה כפלית לכל האידאלים, כלומר, <math>\ N(IJ)=N(I)N(J)</math>. יתרה מזו, הנורמה מכלילה את זו של
<math>\ N(a{\mathcal O}_K) = N_{K/F}(a)</math>. אם <math>\ \mathfrak{P}</math> הוא אידאל ראשוני של חוג השלמים, ומתקיים <math>\ \mathbb{Z} \cap \mathfrak{P} = p\mathbb{Z}</math> עבור [[מספר ראשוני|ראשוני]] שלם p, אז <math>\ N(\mathfrak P)=p^f</math>, כאשר f הוא "מקדם המימד" של <math>\ \mathfrak P</math> (השווה למימד של <math>\ \mathcal{O}_K/{\mathfrak P}</math>
מכל <math>\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math>).
| |||