תת-חבורת פרטיני – הבדלי גרסאות

תת-חבורת פרטיני כוללת בדיוק את האבריםהאיברים הלא-יוצרים של G (איבר הוא '''לא-יוצר''' אם גריעתו מקבוצה היוצרת את החבורה מותירה קבוצה יוצרת), ובכך היא דומה ל[[רדיקל ג'ייקובסון]] מתורת החוגים. בדומה ל[[הלמה של נקיאמה|למה של נקיאמה]], אם <math>\ \Phi(G)</math> [[חבורה נוצרת סופית|נוצרת סופית]] אז <math>\ \Phi(G)H \neq G</math> לכל תת-חבורה אמיתית H של G.

תת-חבורת פרטיני של [[חבורת-p]]{{כ}} P היא תת-החבורה הנוצרת על ידי [[תת-חבורת הקומוטטורים|הקומוטטורים]] וכל חזקות-p של אברי החבורה. לכן, אם P סופית, אז המנה <math>\ P/\Phi(P)</math> היא מהצורה <math>\ (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^d</math> עבור d מתאים. במקרה זה, אפשר [[קבוצת יוצרים|ליצור את החבורה]] על ידי d אבריםאיברים, אבל לא פחות. את מספר היחסים ב[[הצגה לפי יוצרים ויחסים]] אפשר לקרוא מ[[הומולוגיה (מתמטיקה)|חבורת ההומולוגיה השנייה]] <math>\ H_2(P,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})</math>: גם זו חבורת-p אבלית אלמנטרית, שהדרגה שלה היא מספר היחסים המינימלי בהצגה של החבורה. משערים שתמיד יש לחבורה הצגה עם d יוצרים ו-r יחסים.