שדה ארכימדי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
הרחבה |
||
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], '''שדה ארכימדי''' הוא [[שדה
תכונת ארכימדס ושדה ארכימדי קרויים על שם [[ארכימדס]] מ[[סירקוז]], שקבע שניתן להשוות כל שני קטעים ממשיים: אם מניחים עותקים של הקטע הקצר בזה אחר זה, בסופו של דבר אפשר יהיה לעבור את הקטע הארוך. בניסוח מודרני, זוהי בדיוק תכונת הארכימדיות של השדה הממשי. ידוע שכל שדה ארכימדי הוא תת-שדה של שדה המספרים הממשיים.
== הגדרה ==
שורה 11:
* לכל איבר חיובי a בשדה, קיים n טבעי כך ש- <math>\ 1/n<a</math>.
* קבוצת המספרים הטבעיים אינה [[קבוצה חסומה|חסומה]] בשדה.
* קבוצת המספרים הרציונליים [[צפיפות (סדר)|צפופה]] בשדה (במובן של קבוצות סדורות: בין כל שני מספרים יש מספר רציונלי).
בתכונת ארכימדס משתמשים כדי לנסח מחדש מושגי יסוד באנליזה, כמו למשל [[התכנסות (מתמטיקה)|התכנסות]] של סדרה. על-פי ההגדרה המקובלת, סדרה <math>\ \{a_n\}</math> מתכנסת לגבול a אם לכל <math>\ 0<\epsilon</math>, מרחקם של אברי הסדרה מ- a, ממקום מסוים ואילך, קטן מ- <math>\ \epsilon</math>. הארכימדיות מאפשרת להחליף את <math>\ \epsilon</math> במספר מהצורה <math>\ 1/n</math>, ובכך לבנות סדרות שבהן האיבר ה- n-י תלוי ב- n.
שורה 27:
'''הוכחה''': נניח ש- <math>\ x\in K</math>. מן הארכימדיות של <math>\ K</math> נובע שהקבוצה <math>\ A=\{a \in F : a < x\}</math> חסומה על-ידי מספר טבעי, ולכן היא חסומה גם ב- <math>\ F</math>. נסמן ב- <math>\ t\in F</math> את החסם העליון שלה. אם <math>\ x>t</math> אז קיים <math>\ n</math> טבעי כך ש- <math>\ x-t>1/n</math> ואז <math>\ t+1/n\in A</math>, סתירה להגדרת <math>\ t</math>. מצד שני אם <math>\ x<t</math> אז קיים <math>\ n</math> טבעי כך ש- <math>\ t-x>1/n</math> ואז <math>\ A < t-1/n</math>, שוב סתירה. לכן <math>\ x=t\in F</math>.
לכל שדה ארכימדי <math>F</math> אפשר לבנות את השדה <math>\ \hat{F}</math> של [[חתכי דדקינד]] ב-<math>F</math>. שדה זה הוא שלם (במובן של חסמים, ולכן ארכימדי), ו- F צפוף בו. על-פי ההגדרה, שדה המספרים הממשיים הוא ההשלמה <math>\ \mathbb{R}=\hat{\mathbb{Q}}</math> של [[שדה המספרים הרציונליים|שדה הרציונליים]]. מכיוון ש- <math>F</math> מכיל עותק של <math>\ \mathbb{Q}</math>, יש [[שיכון (מתמטיקה)|שיכון]] <math>\ \mathbb{R}=\bar{\mathbb Q}\hookrightarrow \bar{F}</math>. אבל כאן שני השדות שלמים; מן המשפט נובע ש- <math>\ F \subseteq \bar{F}\cong \mathbb{R}</math> - כלומר, כל שדה ארכימדי הוא [[תת שדה]] של [[שדה המספרים הממשיים|השדה הממשי]], ושדה זה הוא שדה חתכי דדקינד של כל אחד מהם.
[[קטגוריה:אנליזה מתמטית]]
| |||