הבדלים בין גרסאות בדף "חבורה (מבנה אלגברי)"

מ
מ (בוט החלפות: \1איברים)
מ (בוט החלפות: \1הפך)
איבר היחידה של חבורה הוא ה[[אידמפוטנט]] היחיד בה. ב[[חבורה למחצה]] יש בדרך כלל אידמפוטנטים רבים, והקשרים ביניהם מאפשרים לבנות במדורג משפחות של חבורות למחצה שיש להן דמיון מסוים לחבורות. למשל, [[חבורה למחצה הפיכה]] היא חבורה למחצה שבה לכל x קיים y יחיד כך ש-xyx=x ו-yxy=y; במקרה זה מסמנים <math>\ x^{-1}=y</math>. בחבורה למחצה סופית S, לכל אידמפוטנט e, קבוצת האיברים המקיימים <math>\ xx^{-1}=x^{-1}x=e</math> היא תת-החבורה המקסימלית של S ש-e הוא איבר היחידה שלה.
 
ב[[מונואיד]], שהוא חבורה למחצה עם איבר יחידה 1, אפשר לדרוש שאיבר a יהיה "הפיך מימין" (קיים b כך ש- ab=1) או "הפיך משמאל" (קיים b כך ש-ba=1). איבר a שהוא הפיך גם מימין וגם משמאל הוא הפיך, כלומר, יש b המקיים בו-זמנית ab=ba=1. בכל מונואיד, אוסף האיברים ההפיכים סגור לכפל (בגלל התכונה <math>\ (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}</math>), והוא מהווה לכן חבורה. אם כל איבר של המונואיד הוא הפיך משמאל, אז כולם הפיכים, והמונואיד הוא חבורה. לעומת זאת קיימים מונואידים שאינם חבורות שבהם לכל a קיימים x,y כך ש-<math>\ xay=1</math>. מונואיד שבו מ-ax=ay תמיד נובע x=y, נקרא "מונואיד עם צמצום משמאל"; כל מונואיד הניתן לשיכון בחבורה הוא בעל צמצום (מימין ומשמאל), אבל ההיפךההפך אינו נכון. מונואיד סופי עם צמצום משמאל הוא חבורה.
 
==תת-חבורות==