נוסחת קרמר – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: \1איברים |
מ בוט: החלפת טקסט אוטומטית (-<div style="text-align: *center;">[ \n]*<math>(.+?)</math>[ \n]*</div> +<math display="block">\1</math>) |
||
שורה 7:
על פי נוסחת קרמר, הרכיב ה-<math>\ k</math> של וקטור הפתרון <math>\ x</math> נתון על ידי
<math display="block">\ x_k=\frac{\det A_k}{\det A}</math>▼
▲<math>\ x_k=\frac{\det A_k}{\det A}</math>
כאשר <math> \ A_k</math> היא המטריצה המתקבלת על ידי החלפת העמודה ה-<math>\ k</math> שבמטריצה <math>\ A</math> בווקטור <math>\ b</math>.
שורה 49 ⟵ 47:
===הוכחה בעזרת התכונות של פונקציית נפח===
נניח כי נתונה המערכת <math>\ Ax=b </math>. נסמן את עמודות המטריצה ב <math>\ \alpha_1, \dots, \alpha_n</math>. הטענה כי הווקטור <math> \ (x_1,\dots,x_n)</math> פותר את המערכת היא בעצם הטענה כי
<math display="block">\ x_1 \alpha_1+\dots +x_n \alpha_n=\sum_{i=1}^{n} x_i \alpha_i =b</math>▼
▲<math>\ x_1 \alpha_1+\dots +x_n \alpha_n=\sum_{i=1}^{n} x_i \alpha_i =b</math>
נחשוב על הדטרמיננטה כעל [[פונקציית נפח]], המקבלת כארגומנטים את עמודות המטריצה:
<math>\ \det A = \det(\alpha_1,\dots,\alpha_n) </math>
הדטרמיננטה <math> \ \det A_k </math> מתקבלת מהחלפת העמודה ה-k בעמודה b. כלומר:
<math display="block">\ \det A_k=\det (\alpha_1,\dots,\alpha_{k-1},b,\alpha_{k+1}\dots,\alpha_n) = \det (\alpha_1,\dots,\alpha_{k-1},\sum x_i \alpha_i,\alpha_{k+1},\dots,\alpha_n)</math>▼
▲<math>\ \det A_k=\det (\alpha_1,\dots,\alpha_{k-1},b,\alpha_{k+1}\dots,\alpha_n) = \det (\alpha_1,\dots,\alpha_{k-1},\sum x_i \alpha_i,\alpha_{k+1},\dots,\alpha_n)</math>
מכיוון שהדטרמיננטה, כפונקציית נפח, היא לינארית בכל רכיב, מתקבל
<math display="block">\ \det A_k=\sum_1^n x_i \det(\alpha_1,\dots,\alpha_{k-1},\alpha_i,\alpha_{k+1},\dots,\alpha_n) </math>▼
▲<math>\ \det A_k=\sum_1^n x_i \det(\alpha_1,\dots,\alpha_{k-1},\alpha_i,\alpha_{k+1},\dots,\alpha_n) </math>
ומתכונת פונקציית הנפח, לכל <math> i\ne k</math> מתקיים כי <math> \ \det(\alpha_1,\dots,\alpha_{k-1},\alpha_i,\alpha_{k+1},\dots,\alpha_n)=0</math> ולכן נותרנו עם
<math display="block">\ \det A_k=x_k \det (\alpha_1,\dots,\alpha_{k-1},\alpha_k,\alpha_{k+1},\dots,\alpha_n)=x_k\det A</math>▼
▲<math>\ \det A_k=x_k \det (\alpha_1,\dots,\alpha_{k-1},\alpha_k,\alpha_{k+1},\dots,\alpha_n)=x_k\det A</math>
ולכן <math>\ x_k =\frac{\det A_k}{\det A}</math>.
| |||