הבדלים בין גרסאות בדף "גאומטריה אוקלידית"

מ
שוחזר מעריכות של 217.194.203.247 (שיחה) לעריכה האחרונה של 37.26.149.208
(החלפת הדף בתוכן "* '''''קקיייייייייייייייייייייי או קקי למה עזבת פתאום, קקי או קקי תחזור תחזור היום''''' קטגו...")
מ (שוחזר מעריכות של 217.194.203.247 (שיחה) לעריכה האחרונה של 37.26.149.208)
[[קובץ:Euklid2.jpg|ממוזער|אוקלידס]]
* '''''קקיייייייייייייייייייייי או קקי למה עזבת פתאום, קקי או קקי תחזור תחזור היום'''''
'''הגאומטריה האוקלידית''' היא התורה המתמטית של [[נקודה (גאומטריה)|נקודות]], [[ישר]]ים ו[[מעגל]]ים ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]], המבוססת על האקסיומות שהציג וסיכם [[אוקלידס]] בספרו [[יסודות (ספר)|יסודות]], והכללות שלה למרחב התלת-ממדי. מדידות לצרכים הנדסיים נעשו בכל רחבי העולם העתיק, ואף נעשו מספר הבחנות כגון זו שב[[משפט פיתגורס]], אבל רק בתרבות היוונית נבנתה עבורם מסגרת תאורטית שיטתית, שבליבה התהליך הדדוקטיבי שבו מקבלים [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] מהנחות יסוד ומשפטים קודמים.
 
במשך יותר מאלפיים שנה נקראה הגאומטריה האוקלידית פשוט "גאומטריה", משום שהייתה ה[[גאומטריה]] היחידה. ניסיונות [[הוכחה|להוכיח]] את [[אקסיומת המקבילים]] הביאו ב[[המאה ה-19|מאה ה-19]] לפיתוחן של גאומטריות אלטרנטיביות, שאינן מקבלות את האקסיומה הזו, והן קרויות [[גאומטריה לא-אוקלידית|גאומטריות לא אוקלידיות]].
 
גאומטריה אוקלידית נמנית עם [[מתמטיקה#ענפי המתמטיקה|ענפי המתמטיקה]] המעטים הנלמדים ב[[בית ספר יסודי|בית הספר היסודי]] ו[[בית ספר תיכון|התיכון]]. במסגרת זו יש המבחינים, משיקולים [[תורת ההוראה|דידקטי]]ים, בין '''גאומטריית המישור''' (או '''הנדסת המישור'''), העוסקת בגופים [[מישור (גאומטריה)|מישור]]יים בלבד, כגון [[משולש]] ו[[מעגל]], ובין '''גאומטריית המרחב''' (או '''הנדסת המרחב'''), העוסקת בגופים [[מרחב תלת-ממדי|תלת-ממדיים]], כגון [[פירמידה (גאומטריה)|פירמידה]], [[קובייה]] ו[[כדור (גאומטריה)|כדור]].
 
==הנחות==
אוקלידס, שנחשב לאבי הגאומטריה בזכות [[ספר]]ו "[[יסודות (ספר)|יסודות]]", ביסס את הגאומטריה המישורית על שני מושגי יסוד, ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודה]], וה[[ישר]], המוגדרים באופן מצומצם, ומקבלים את משמעותם והתכונות שלהם מהנחות היסוד שהם מקיימים והקשר שלהם למושגים אחרים שאוקלידס מגדיר, ביניהם המעגל והזווית והמישור. הנקודה הישר המעגל והזווית מקיימים יחד איתם חמש הנחות:
#אפשר להעביר [[קטע (מתמטיקה)|קטע]] ישר בין שתי נקודות.
#אפשר להמשיך קטע ישר ללא גבול.
#אפשר לתאר מעגל על-פי מרכז ו[[רדיוס]].
#כל [[זווית ישרה|הזוויות הישרות]] שוות ביניהן.
#אם שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי באופן שסכום הזויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות, אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם ייפגשו. (השקולה לטענה: דרך ישר כלשהו ונקודה שאיננה על הישר, ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שלא ייחתך עם הישר הנתון.)
 
בנוסף אוקלידס מציין חמש מוסכמות, או אקסיומות, שאינן תלויות במושגים מסוימים:
#[[כלל המעבר|אלו השוים לדבר זהה שווים האחד לשני.]]
#אם שווים נוספים לשווים, הסכומים שווים.
#אם שווים מופחתים משווים, ההפרשים שווים.
#אלו החופפים אחד לשני שווים.
#השלם גדול מהחלק.
 
ההנחה החמישית, המכונה "אקסיומת המקבילים", נראתה למתמטיקאים לאורך ההיסטוריה לא מובנת מאליה, והם ניסו למצוא דרך להוכיח אותה באמצעות ההנחות שלפניה. אולם במאה ה-19 הוכח שהיא בלתי ניתנת להוכחה, על ידי יצירת [[גאומטריה היפרבולית|הגאומטריה ההיפרבולית]] שבה כל ארבע האקסיומות הראשונות נכונות אך החמישית איננה נכונה. תחום זה של הגאומטריה נקרא [[גאומטריה לא-אוקלידית]]. והגאומטריה שהייתה עד כה היחידה קיבלה את השם אוקלידית.
 
המוסכמות וההנחות שהציע אוקלידס אינן מספיקות לביסוס של הגאומטריה במידת הקפדנות המקובלת היום; במקומן מקובל להשתמש ב[[מערכת האקסיומות של הילברט]] שהציע [[דויד הילברט]] בסוף המאה ה-19.
 
פיתוח גאומטריית המרחב דורש את מושג ה[[מישור (גאומטריה)|מישור]], המאופיין בכך שדרך 3 נקודות שאינן נמצאות על ישר אחד עובר מישור אחד ויחיד.
 
==ראו גם==
* הצורות הגאומטריות: [[משולש]] - [[מרובע]] - [[מצולע]] - [[מעגל]] - [[פרבולה]] - [[אליפסה]] - [[היפרבולה]] - [[חרוט]] - [[קובייה]] - [[ארבעון]] - [[איקוסהדרון]] - [[דודקהדרון]] - [[כדור (גאומטריה)|כדור]]
* [[מערכת האקסיומות של הילברט]]
* [[גאומטריה לא-אוקלידית]]
* [[משפט פיתגורס]]
* [[משפט צ'בה]]
* [[משפט מנלאוס]]
 
==לקריאה נוספת==
* [[דיבשה אמירה]], '''ביסוס אכסיומתי ליסודות הגאומטריה''', הוצאת עם עובד ודביר, 1962
* [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html Euclid's Elements], "היסודות", ספרו של אוקלידס, בתרגום לאנגלית
 
== קישורים חיצוניים ==
{{מיזמים|ויקיספר=מתמטיקה תיכונית/גאומטריה|שם ויקיספר=גאומטריה}}
* [http://kaye7.school.org.il/geometry_theorems.htm הדגמה ויזואלית של המשפטים בגאומטריה אוקלידית (הנדסת המישור) לבחינת הבגרות במתמטיקה, לפי רשימת משרד החינוך] – אתר המרכז לתכנון לימודים, מכללת קיי
 
[[קטגוריה:גאומטריה|אוקלידית]]