הבדלים בין גרסאות בדף "משפט האינטגרל של קושי"

החלפת הניסוח על פי יגאל קליין (מדב"א מג"ל)
מ (קישור לאנגלית וקטגוריה)
(החלפת הניסוח על פי יגאל קליין (מדב"א מג"ל))
ב[[אנליזה מרוכבת]], '''משפט אינטגרל קושי''' הוא משפט מרכזי ובעל השלכות רבות, העוסק בחישוב [[אינטגרל קווי]] של [[פונקציה|פונקציות]] [[פונקציה מרוכבת|מרוכבות]] [[פונקציה הולומורפית|הולומורפיות]]. בבסיסו, המשפט אומר כי אינטגרל קווי של פונקציה על מסלול סגור שווה לאפס אם הפונקציה הולומורפיתרציפה על המסלול ובתחוםוהולומורפית ב[[ציקלוס]] [[הומולוגי לאפס]] (נקרא גם תחום קושי) (ובפרט בתחום שסגור על ידי המסלול, אם תחום זה הוא [[תחום פשוט קשר|פשוט קשר]], כלומר אין בו "חורים"). הרחבה של המשפט עוסקת גם במקרה שבו יש חורים בתחום, או נקודות בתוכו שבהן הפונקציה אינה אנליטית.
 
בין התוצאות של משפט זה ניתן למנות תוצאות חשובות רבות, כגון [[נוסחת האינטגרל של קושי]], [[משפט ליוביל (אנליזה מרוכבת)|משפט ליוביל]], [[המשפט היסודי של האלגברה]], [[משפט השארית (אנליזה מרוכבת|משפט השארית]] ועוד. מהמשפט ניתן גם להסיק כי פונקציות הולומורפיות הן [[פונקציה אנליטית|אנליטיות]] - כלומר, ניתן לפתח אותן ל[[טור טיילור]].
 
==ניסוח פורמלי==
 
יהא <math>\ U\subset\mathbb{C}</math> תחום פשוט קשר במישור המרוכב, ותהא <math>\ f(z):U\rarr\mathbb{C}</math> פונקציה מרוכבת הולומורפית בתחום זה. יהא <math>\ \gamma</math> מסלול סגור, פשוט ובעל אורך בתחום, אז מתקיים <math>\oint_\gamma f(z)\,dz = 0 </math>.
יהא <math>\ U\subset\mathbb{C}</math> [[תחום קושי]] כך ש-<math>\ \partial U</math> הוא איחוד סופי של תמונת מסילות סגורות וכן תהי <math>\ f(z):\bar{U}\rarr\mathbb{C}</math> פונקציה רציפה על <math>\ \partial U</math> והולומורפית ב-<math>\ U</math> אזי <math>\oint_{\partial U} f(z)\,dz = 0 </math>, כאשר הכוונה היא כי האינטגרל על שפת התחום הינו סכום סופי של אינטגרלים על מסילות סגורות שאיחוד תמונותיהן מהווה את השפה.
<math>\oint_\gamma f(z)\,dz = 0 </math>
אם <math>\ U </math> אינו פשוט קשר אלא מכיל חורים, אז בהינתן שני מסלולים <math>\gamma_1,\gamma_2</math> שמקיפים את אותם חורים מתקיים <math>\oint_{\gamma_1} f(z)\,dz = \oint_{\gamma_2} f(z)\,dz </math>. באופן כללי, אינטגרל על מסלול שמקיף קבוצה כלשהי של חורים שווה לסכום של האינטגרלים של מסלולים שכל אחד מהם מקיף רק אחד מאותם חורים.
 
[[en:Cauchy integral theorem]]
5,137

עריכות