הבדלים בין גרסאות בדף "אינטגרל לא אמיתי"

הוספת מבחן אבל והוכחתו. הרחבה
(משפט דריכלה בתנאים פחות מחמירים , עדכון, עריכה, ניסוח)
(הוספת מבחן אבל והוכחתו. הרחבה)
בתנאים אלו האינטגרל <math>\int_{a}^{\infty} f(x)g(x)dx</math> מתכנס.
 
==== מבחן אבל ====
{{אנליזה מתמטית}}
מבחן אבל הינו מסקנה מידיית ממבחן דריכלה.
 
תהיינה <math>f,g\,</math> [[פונקציה|פונקציות]] בקטע <math>[a,+\infty)\,</math>. אם מתקיים:
* <math>f\,</math> [[פונקציה מונוטונית|מונוטונית]] בקטע <math>[a,+\infty)\,</math>.
* <math>\lim_{x \to \infty}f(x)=L</math> כאשר <math>L</math> קיים וסופי.
* <math>g\,</math> [[אינטגרבילי|אינטגרבילית]] בקטע <math>[a,+\infty)\,</math> ו-<math>\int_{a}^{\infty} g(t)dt </math> מתכנס.
 
בתנאים אלו האינטגרל <math>\int_{a}^{\infty} f(x)g(x)dx</math> מתכנס.
 
===== הוכחה למבחן אבל =====
ע"פ הנתונים נקבל כי:
 
<math>\int_{a}^{\infty} f(x)g(x)dx=\int_{a}^{\infty} g(x)(f(x)-L+L)dx=\int_{a}^{\infty} g(x)(f(x)-L)dx+L\int_{a}^{\infty} g(x)dx</math>
 
כעת כפי שניתן לראות, <math>\int_{a}^{\infty} g(x)(f(x)-L)dx</math> מתכנס ע"פ מבחן דריכלה ו-<math>L\int_{a}^{\infty} g(x)dx</math> מתכנס ע"פ הגדרה.{{אנליזה מתמטית}}
 
==קישורים חיצוניים==
משתמש אלמוני