אלגברה לא אסוציאטיבית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
MikeIoshpe (שיחה | תרומות) מ ←הגרעין והמרכז: חידוד |
MikeIoshpe (שיחה | תרומות) הוספת מידע על תבניות בילינאריות |
||
שורה 23:
כמו בתורה האסוציאטיבית, הרדילקים מהווים כלי מחקר של האלגבראות - ברגע שנמצא רדיקל מתאים <math>R(A)</math> למחלקת האלגבראות, נחקרות האלגבראות הרדיקליות - המקיימות <math>A=R(A)</math>, והאלגברואת הפשוטות למחצה, המקיימות <math>R(A)=0</math>. הגדרת רדיקל כזה איננה פשוטה במקרה הכללי; כך למשל, הרדיקל הנילי לא מוגדר היטב ב[[אלגברת לי|אלגבראות לי]] (בהן תופס את תפקיד הרדיקל החשוב <math>S(A)</math>). רדיקל חשוב נוסף הוא '''רדיקל הפשטות''', המוגדר בתור האידאל המינימלי <math>N(A)</math>, כך שהאלגברה <math>A/N(A)</math> מתפרקת לסכום ישר של אלגבראות פשוטות. רדיקל זה מוגדר לכל אלגברה סוף-ממדית, ומתלכד עם רדיקל הפתירות במשפחות שצוינו לעיל.
==תבניות בילינאריות==
כמו בתורה האסוציאטיבית, גם במקרה זה מעניין לחקור [[תבנית בילינארית|תבניות בילינאריות]] של האלגברה, כדי להבין טוב יותר את המבנה שלהן. '''תבנית עקבה''' (trace form) של F-אלגברה לא אסוציאטיבית A היא תבנית בילינארית סימטרית <math>(\cdot,\cdot):A \times A \to F</math>, המקיימת <math>(x,yz) = (xy,z)</math>. עבור כל תבנית עקבה כלעיל, וכל אידאל B של A, מוגדר האידאל האנכי ל-B מוגדר בתור <math>B^\perp{} = \{x \in A: (x,b) = 0 \quad \forall b \in B\}</math>, גם הוא אידאל. ה'''רדיקל''' של התבנית מוגדר בתור האידאל <math>A^\perp</math>; התבנית נקראת '''רגולרית''' אם הרדיקל שלה אפס.
המשפט המרכזי בהקשר זה הוא כלהלן: תהי A אלגברה לא אסוציאטיבית סוף-ממדית, בעלת תבנית עקבה רגולרית. עוד נניח כי <math>B^2 \neq 0</math> לכל אידאל <math>B \neq 0</math>. אזי A היא פשוטה למחצה, כלומר מתפרקת לסכום ישר (יחיד עד כדי סדר) של אידאלים פשוטים.
שימוש נפוץ בתבנית עקבה הוא ב[[אלגברת לי|אלגבראות לי]], עליהן מוגדרת [[תבנית קילינג]], אשר מהווה תבנית עקבה של האלגברה, בעזרתה חוקרים תכונות מבנה של האלגברה.
==אלגברת הנגזרות==
| |||