הבדלים בין גרסאות בדף "משוואת קושי-אוילר"

אין שינוי בגודל ,  לפני שנתיים
מ
בוט החלפות: \1היות ש, דוגמה\1
מ (←‏דוגמא: תיקון משוואה)
מ (בוט החלפות: \1היות ש, דוגמה\1)
<math>\sum_{i=0}^{n}{{{a}_{i}{x}^{i}}\cdot{y}^{(i)}(x)}={a}_{n}{x}^{n}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}_{0}{y}=0</math>
 
כאשר המקדמים <math>a_i</math> הם מספרים ממשיים, ו-<math>y(x)</math> הנה פונקציה ממשית משתנה. הסדר של המשוואה הנ"ל הוא <math>n</math> אם מתקיים <math>a_n \neq 0</math>. במקרה זה, היות ומדוברשמדובר במשוואה לינארית הומוגנית, יש לה n פתרונות בלתי תלויים המהווים [[מרחב וקטורי]].
 
'''משוואות אוילר הלא הומוגנית''' היא מהצורה:
משוואת אוילר ההומוגנית שקולה ל[[משוואה דיפרנציאלית לינארית|משוואה לינארית]] עם מקדמים קבועים. כידוע, הפתרון של משוואה לינארית עם מקדמים קבועים הוא אקספוננט. לכן, גם פתרון המשוואה הנ"ל לפי t הוא אקספוננט: <math>y(t)={e}^{rt}</math>. אם נחזור למשתנה x, נקבל: <math>y(x)={x}^{r}</math>. לכן, הפתרון של משוואת אוילר נתון על ידי חזקה של x.
 
לאור עובדה זו, בדרך כלל אין שימוש בפועל בשיטה של מעבר למשוואה לינארית. אלא, מנחשים פתרון מהצורה הנ"ל, ומוצאים את r שיקיים אותו. אם נחזור לדוגמאלדוגמה של משוואה מסדר 2 כלעיל, ננחש פתרון מהצורה הבאה: <math>y={x}^{r},\quad y'=r{x}^{r-1},\quad y''=r(r-1){x}^{r-2}</math>.
 
על ידי הצבה:
זה גורר שבהכרח מתאפס הפולינום לפי r: <math>r(r-1)+{ a }_{ 1 }r+{ a }_{ 0 }=0</math>. פולינום זה נקרא '''המשוואה האינדיציאלית''' של המד"ר. פתרון המשוואה יביא אל הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית המקורית.
 
===דוגמאדוגמה===
כעת נפתור את המשוואה שהובאה בדוגמה 1 לעיל: <math>{x}^{2}{y}''+2xy'-2y=0</math>.