מאפיין (אלגברה) – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ טרחני ומבלבל
ביטול גרסה 21938593 של דניאל ב. (שיחה), שחזור
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], ה'''מאפיין''' (או ה'''מציין''') של [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]]{{הערה|באנגלית: Ring.}}
''<math>R</math>'', אשר מסומן לעתים קרובות כ- <math>char(R)</math>, מוגדר כמספר הפעמים '''הקטן ביותר''', המהווה [[מספר טבעי]], בו משתמשים ב[[איבר יחידה|איבר היחידה]] הכפלי (<math>1</math>) של החוג, כך שסכום כל האיברים הללו (סכום ה- <math>1</math>-ים) - יהיה שווה לאיבר היחידה החיבורי (<math>0</math>).
 
אם סכום ה- <math>1</math>-ים המחוברים אינו שווה לעולם ל- <math>0</math>, נאמר שהשדה בעל '''מאפיין אפס'''.
 
כלומר:{{ש}}
נגדיר: <math>n</math> - מספר טבעי, המציין את המספר הקטן ביותר של פעולות חיבור של איבר היחידה הכפלי (<math>1</math>). כלומר: (מספר ה- <math>1</math>-ים הקטן ביותר (המינימלי)).{{ש}}
עבור פעולת החיבור הבאה, מאפיין השדה, <math>char(R)</math>, הוא מספר הפעמים <math>n</math> (המספר המינימלי של <math>1</math>-ים) שיש לחבר, כך שסכום זה (סכום ה- <math>1</math>-ים) - יהיה שווה לאפס (<math>0</math>).
 
<math>\underbrace{1+\cdots+1}_{char(R) \text{ =n=minimal times of 1}}=0</math>
 
מקרה זה תקף, אם '''קיים''' מספר טבעי <math>n</math> כלשהו, המקיים את המשוואה לעיל. במקרה ש'''לא קיים''' <math>n</math> כזה, אזי <math>char(R)=0</math> (מאפיין החוג, <math>char(R)</math>, שווה אפס (<math>0</math>)){{הערה|'''הגדרה זו מבלבלת'''. עבור הקורא המתחיל, נדמה ש'''אין הגיון''' בחיבור המספר <math>1</math> <math>n</math> פעמים, בציפייה לקבל <math>0</math> בסופו של התהליך.{{ש}}'''יש להבין, כי המספר''' <math>1</math> '''מציין את איבר היחידה הכפלי של החוג{{הערה|באנגלית: Identity of a ring ; Multiplicative Identity of a ring ; Unit Ring ; Ring with Identity.}}, ולא בהכרח''' <math>1\in \mathbb{Z}</math>.{{ש}}לפרטים נוספים אודות '''איבר היחידה הכפלי''', אנא לחץ [[איבר יחידה|כאן]].}}.
 
 
כמו כן, מאפיין של חוג כלשהו יכול להוות את ה[[אקספוננט]] של ה'''חבורה החיבורית''' (אדיטיבית) '''שלו'''. כלומר: המספר הטבעי <math>n</math> הקטן ביותר (המינימלי), המקיים את פעולת החיבור הבאה:
 
<math>\underbrace{a+\cdots+a}_{char(R) \text{ =n=minimal times of a}}=0</math>
 
עבור כל איבר <math>a</math> השייך לחוג.{{ש}}{{ש}}
גם מקרה זה תקף, אם '''קיים''' מספר טבעי <math>n</math> כלשהו, המקיים את המשוואה לעיל. במקרה ש'''לא קיים''' <math>n</math> כזה, אזי <math>char(R)=0</math> (מאפיין החוג, <math>char(R)</math>, שווה אפס (<math>0</math>)).
 
== הגדרות שקולות (אקוויולנטיות) ==
 
== מאפיין של חוג ==
 
== מאפיין של שדה ==
ה'''מאפיין''' (או ה'''מציין''') של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] הוא ה[[מספר טבעי|מספר הטבעי]] הקטן ביותר השווה לאפס בשדה.
ביתר פירוט, המספרים <math>\ 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, ...</math> הם איברים של השדה, ויש שתי אפשרויות: או שכולם שונים זה מזה, ואז אומרים שהשדה בעל '''מאפיין אפס''', או שלא, ואז המאפיין הוא המספר הקטן ביותר של 1-ים שיש לחבר כדי לקבל 0. במקרה זה המאפיין הוא [[מספר ראשוני]] (משום שאין [[מחלק אפס|מחלקי אפס]] בשדה).
שורה 16 ⟵ 42:
==ראו גם==
במקרים רבים מפתחים תאוריות מתמטיות תוך כדי הנחות על המאפיין של השדה. למשל, ב[[גאומטריה אלגברית]] ובתחומים רבים ב[[אנליזה מתמטית|אנליזה]] מקובל לעבוד מעל [[שדה סגור אלגברית]] ממאפיין אפס. התאוריה של [[תבנית ריבועית|תבניות ריבועיות]] מסתבכת מעט במאפיין 2. ב[[תורת גלואה]] הרחבות של שדות ממאפיין אפס הן תמיד [[הרחבה ספרבילית|ספרביליות]], בעוד שהרחבות של שדות ממאפיין חיובי אינן בהכרח כאלה (ראו [[הרחבות ציקליות של שדות]]).
 
==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
 
[[קטגוריה:אלגברה]]