טנזור – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Tomer T Bot (שיחה | תרומות) מ וויליאם -> ויליאם, replaced: וויליאם ← ויליאם באמצעות AWB תגית: גרשיים שגויים |
|||
שורה 1:
{{קואורדינטות}}
{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], '''טֶנזוֹר''' (או '''טנסור''') הוא פונקציה מולטי-לינארית. ב[[פיזיקה]] טנזור הוא מערך רב-ממדי של רכיבים המייצגים גודל פיזיקלי שיש לו טרנספורמציה מוגדרת תחת שינוי [[קואורדינטות]].
את הטנזור ניתן להגדיר כ[[העתקה לינארית|העתקה מולטי-לינארית]] של [[וקטור (אלגברה)|וקטורים]] ו [[פונקציונל|פונקציונלים]] אל [[שדה המספרים הממשיים]] <math>\mathbb{R}</math>. טנזור שממפה k וקטורים מ[[מרחב וקטורי]] V ו-m פונקציונלים מ[[המרחב הדואלי]] *V נקרא "טנזור מדרגה m על k". ברם, בשימושים מעשיים - בייחוד ב[[פיזיקה]] ו[[הנדסה]] - נוח לעבוד דווקא עם הרכיבים של הווקטור, המייצגים אותו ב[[קואורדינטות|מערכת קואורדינטות]] מסוימות. מערך הרכיבים של הווקטור כן תלוי בקואורדינטות ומשתנה בצורה "קו-ואריאנטית כללית" (מונח זה יוסבר בהמשך).
שורה 13:
==רקע==
המילה טנזור הוצגה לראשונה על ידי [[
צורת הסימון פותחה בסביבות [[1890]] על ידי [[ג'ורג'ו ריצ'י-קורבסטרו]] תחת הכותרת "'''[[גאומטריה דיפרנציאלית]] אבסולוטית'''"
שורה 23:
פיזיקאים ומהנדסים הם מהראשונים להכיר בכך שלטנזורים חשיבות פיזיקלית כגדלים בעלי משמעות רבה יותר ממערכת הקואורדינטות (השרירותית לעתים קרובות) בה רכיביהם ממוספרים. באופן דומה, מתמטיקאים מוצאים כי יש יחסים טנזוריים הנגזרים ביתר קלות באמצעות סימוני הקואורדינטות.
קיימות גישות '''שקולות''' להבין ולעבוד עם טנזורים; רק בהכרה מסוימת של החומר ניתן להבחין בכך שאכן קיימת שקילות.
=== הגישה הקלאסית ===
הגישה הפיזיקלית הרגילה להגדרת טנזורים, כעצמים אשר רכיביהם מתפתחים לפי חוקים מסוימים. גישה זו מציגה את הרעיונות של התמרות [[קו-וריאנטיות]] או [[קונטרה-וריאנטיות]]. באופן גס, ניתן לראות את תאוריית השדות הטנזוריים, בגישה זו, כהכללה של רעיון [[יעקוביאן|היעקוביאן]].
הגישה הקלאסית רואה את הטנזורים [[מערך (מבנה נתונים)|כמערכים]] רב-ממדיים המהווים הרחבה n-ממדית של סקלרים, וקטורים חד-ממדיים [[מטריצה|ומטריצות]] דו-ממדיות. ה"רכיבים" של הטנזור הם האינדקסים של המערך. רעיון זה ניתן להכללה נוספת, [[שדה טנזורי|שדות טנזוריים]], רכיבי הטנזור הם [[פונקציה|פונקציות]], או אף [[דיפרנציאל (מתמטיקה)|דיפרנציאלים]].
=== הגישה המודרנית ===
זוהי הגישה המתמטית הרגילה, הכוללת הגדרת [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]] מסוימים ללא קביעת כל מערכת קואורדינטות עד להצגת הבסיסים כשנידרש. וקטורים קו-וריאנטיים, למשל, ניתנים לתיאור גם כאלמנטים [[מרחב דואלי|במרחב הדואלי]] (זהו מרחב ה[[פונקציונל|פונקציונלים הלינאריים]] מעל המרחב הווקטורי) לווקטורים הקונטרה-וריאנטיים.
הגישה המודרנית מתייחסת לטנזורים בראש ובראשונה כעצמים מופשטים, המבטאים סוג מוגדר של מושג מולטי-לינארי. תכונותיהם המדויקות ניתנות לגזירה מהגדרותיהם, כמיפויים לינאריים וכללי העבודה עם טנזורים עולים כהרחבה מ[[אלגברה לינארית]] [[אלגברה מולטילינארית|לאלגברה מולטי-לינארית]]. טיפול זה החליף באופן גורף את הגישה הקלאסית לאחר שזו סיפקה מניע בסיסי למושג וקטור. ניתן לומר כי 'טנזורים הם רכיבים של מרחב טנזורי כלשהו'.
שורה 43:
אפשר להגדיר פעולות נוספות בין טנזורים, כגון [[מכפלה טנזורית]], "כיווץ" (לקיחת [[עקבה (אלגברה)|עקבה]] על זוג אינדקסים עליון ותחתון) ו[[נגזרת קו-וריאנטית]] שיוצרות טנזור חדש (בדרגה שונה בדרך כלל) מטנזור נתון.
הרבה פעמים נוח להציג את הטנזור כמערך רב-ממדי של רכיבים המתארים את הטנזור. אנו נראה שהצגה כזו שקולה להגדרתו כהעתקה מולטי-לינארית. מאחר שרכיבי הטנזור תלויים בבסיס בו מייצגים את המרחב, עלינו לקבוע בסיס כלשהו למרחב הווקטורי ולמרחב הדואלי לו.
יהי <math>\ \hat{e}_1, ..., \hat{e}_n</math> בסיס למרחב הווקטורי V ואילו <math>\ \hat{f}^1, ..., \hat{f}^n</math> בסיס למרחב הדואלי כך ש <math>\ \hat{f}^\mu ( \hat{e}_\nu ) = \delta^\mu_\nu</math> (כאשר <math>\delta^\mu_\nu</math> היא [[הדלתא של קרונקר]]). אזי כל טנזור ניתן להציג כמערך רב-ממדי של רכיבים באמצעות הגדרת פעולתו על כל אחד מאיברי הבסיס. הצורה הכללית לעשות זאת תובהר מהדוגמה הבאה:
שורה 64:
* ה[[יריעה]] (manifold) שמעליה הוא מוגדר (ומבנים נוספים כגון [[מטריקה]] בילינארית).
* הצורה שבה הרכיבים עוברים [[טרנספורמציה (פונקציה)|טרנספורמציה]] תחת שינוי [[קואורדינטות]] (או: הצורה שבה משנים את [[בסיס (אלגברה)|בסיס ההצגה]]).
* מספר האינדקסים העליונים (קונטרה-ואריאנטים) והתחתונים (קו-ואריאנטים) שלו. יש הבדל בין אינדקס עליון לבין אינדקס תחתון.
ביריעה כלשהי, נהוג לדבר רק על בסיס לוקלי, או [[קואורדינטות]] לוקליות. זוהי מערכת קואורדינטות המוגדרת היטב רק ב[[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]] קטנה מספיק של הנקודה. מערכת קואורדינטות זו פורשת את מה שנקרא "[[המרחב המשיק]]" לנקודה.
את המרחב המשיק לנקודה אפשר לתאר כמרחב כל הנגזרות הכיווניות בנקודה, כלומר: מרחב כל העקומות ביריעה העוברות דרך הנקודה, כאשר כל עקומה מגדירה וקטור משיק בנקודה המייצג [[נגזרת כיוונית]] לאורך הווקטור. אם נתונה מערכת קואורדינטות <math>\ \{ x^1, ..., x^n \}</math> (האינדקס העליון לא מייצג חזקה, אלא פשוט אינדקס מונה) אזי הבסיס למרחב המשיק בנקודה a הוא
: <math>\ \left\{ \partial_{x^i} = \left( \frac{\partial}{\partial x^i} \right)_a \ \right\}_{i=1}^{n} </math>
בסיס זה נקרא "בסיס הנגזרות החלקיות המתאימות למערכת x".
זהו הבסיס השימושי ביותר למרחב המשיק והוא תלוי במערכת, המתאים למערכת שנבחרה.
=== הטנזור כגודל אינווריאנטי ===
מנקודת ראות מופשטת, הווקטור בנקודה a הוא מעין "[[חץ]]" שקיים במרחב המשיק של a וקיים ללא תלות במערכת הקואורדינטות בה מתארים אותו. לא משנה באיזה צורה נתאר את הווקטור, החץ ישאר אותו חץ. בשפה מקצועית אנו אומרים שהווקטור הוא בעצם [[גודל אינווריאנטי]] תחת שינוי קואורדינטות.
ברם, הרכיבים של הווקטור - מערך של מספרים v<small>i</small> התלוי בקואורדינטות שנבחרו ומתאר את הווקטור במרחב המשיק על ידי
שורה 105:
==דוגמאות==
בטבע יחסים אינם תמיד לינארים, אך רובם [[נגזרת|גזירים]] ולכן ניתנים לקירוב כסכום של מיפויים מולטילינאריים. לכן ניתן להציג ביעילות את רוב הגדלים בפיזיקה כטנזורים.
כדוגמה פשוטה, ניתן לחשוב על ספינה במים. נרצה לתאר את תגובתה ל[[כוח (פיזיקה)|כוח]]. כוח הינו וקטור, והספינה תגיב בתאוצה, שגם היא וקטור. התאוצה לא תהיה בהכרח בכיוון הכוח, מפאת צורתה המסוימת של הספינה. למרות זאת, מסתבר כי היחס בין כוח לתאוצה הוא [[אופרטור לינארי|לינארי]]. יחס כזה ניתן לתיאור כטנזור-(1,1), כלומר טנזור שהופך וקטור (טנזור מדרגה 1) לווקטור אחר (שגם הוא טנזור מדרגה 1). טנזור זה ניתן להצגה [[מטריצה|כמטריצה]] שהכפלתה בווקטור מניבה וקטור אחר. כפי שהמספרים המתארים את הווקטור ישתנו עם שינוי מערכת הצירים, כך המספרים במטריצה המיצגת את הטנזור ישתנו גם כן עם שינוי מערכת הצירים.
בהנדסה, המאמצים ב[[גוף צפיד]] או ב[[נוזל]] מתוארים גם-כן באמצעות טנזור; משמעות המילה "טנזור" בלטינית משמעותה שריר המכווץ או מותח איבר זה או אחר, כלומר משרה מתח (tension).
אם נבודד אלמנט שטח, החומר בצד אחד של המשטח יפעיל כוח על הצד השני. באופן כללי, כוח זה לא יהיה דווקא ניצב למשטח, אלא יהיה תלוי לינארית בנטיית המשטח. ניתן לתאר זאת כטנזור-(2,0), או, ליתר דיוק, כ''שדה'' טנזורי מסוג-(2,0) משום שהמאמצים עשויים להשתנות מנקודה לנקודה.
כמה דוגמאות ידועות של טנזורים הן [[טנזור העקמומיות]], [[טנזור תנע-אנרגיה]], [[טנזור השדה האלקטרומגנטי]], [[טנזור התמד]], [[טנזור קיטוב|וטנזור הקיטוב]].
גדלים פיזיקליים וגאומטריים ניתנים לסיווג לפי [[דרגות חופש|דרגות החופש]] הטבועות בתיאורם. הגדלים הסקלריים הם אלו שניתנים לייצוג על ידי מספר בודד, לדוגמה: [[מסה]] או [[טמפרטורה]]. ישנן גם גדלים וקטוריים, כגון [[כוח (פיזיקה)|כוח]] או [[מהירות]], שלתיאורם נדרשת רשימת מספרים. לבסוף, הצגת גדלים כגון [[צורות קוואדרטיות]] (ריבועיות) דורשת מערך המסומן במספר אינדקסים. הסוג האחרון של גדלים ניתן להבנה רק כטנזורים.
למעשה, מושג הטנזור הוא די כללי, ומוחל לגבי כל הדוגמאות הנ"ל; סקלרים ווקטורים הם סוגים מיוחדים של טנזורים. התכונה המבדילה בין סקלר לווקטור, ואת שניהם מגדלים טנזוריים כלליים נוספים הוא מספר האינדקסים הנדרשים לייצוג. מספר זה קרוי ה'''דרגה''' או ה'''סדר''' של הטנזור. לכן, סקלרים הם טנזורים מדרגה אפס (ללא כל אינדקסים), וקטורים הם טנזורים מדרגה אחד ומטריצות מדרגה שתיים.
שורה 197:
{{ויקישיתוף בשורה}}
[[קטגוריה:
[[קטגוריה:אנליזה וקטורית]]
[[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית]]
| |||