הומוטופיה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
שורה 3:
==הומוטופיה בין פונקציות==
[[קובץ:HomotopySmall.gif|ממוזער|שתי המסילות המסומנות בקו מקוטע הומוטופיות זו לזו. הומוטופיה אחת אפשרית מתוארת על ידי התקדמות הקו הרציף ביניהן. שימו לב שההומוטופיה במקרה זה משמרת את נקודות הקצה של המסילה.]]
'''הומוטופיה''' בין שתי [[רציפותפונקציה רציפה (טופולוגיה)|פונקציות רציפות]] ''f'' ו- ''g'' ממרחב טופולוגי ''X'' למרחב טופולוגי ''Y'', היא פונקציה רציפה
<math> H:X \times [0,1] \to Y</math> מה[[מכפלה טופולגית|מכפלה הטופולוגית]] של המרחב ''X'' במרווח היחידה [0,1], אל המרחב ''Y'', כך שעבור כל הנקודות ''x'' ב- ''X'' מתקיים <math>H(x,0)=f(x)</math> ו-<math>H(x,1)=g(x)</math>.
 
נוח לדמיין כי מרווח היחידה [0,1] מתאר את ציר הזמן. אז הפונקציה ''H'' מתארת דפורמציה רציפה בזמן של ''f'' ל- ''g'': כאשר מצטמצמים לזמן 0 ("תחילת ההומוטופיה") מתקבלת הפונקציה ''f'' וכאשר מצטמצמים לזמן 1 ("סוף ההומוטופיה") מתקבלת הפונקציה ''g''.
 
בתמונה משמאל מתוארת הומוטופיה בין שתי מסילות, כלומר בין שתי פונקציות רציפות מקטע היחידה
<math>X = [0,1]</math>
למישור הציור <math>Y = \mathbb{R}^2</math>.
 
שורה 16:
===הומוטופיה ביחס לקבוצה===
בהשראת האנימציה לעיל, נאמר ששתי העתקות <math>f,g:X \to Y</math> הן '''הומוטופיות ביחס לקבוצה''' <math>A \subseteq X</math> אם יש ביניהן הומוטופיה כנ"ל, המקיימת גם
<center><math display="block">\forall a \in A, t \in [0,1] : H(a,t)=H(a,0)</math>
 
<center><math>\forall a \in A, t \in [0,1] : H(a,t)=H(a,0)</math>
</center>
כלומר, לכל אורך השינוי בין הפונקציות, הערכים על הקבוצה <math>A</math> לא משתנים. בפרט נובע <math>\forall a \in A : f(a)=H(a,0)=H(a,1)=g(a)</math> (זהו תנאי הכרחי ו'''לא''' מספיק להומוטופיה ביחס ל-<math>A</math>).
 
אם כן, בדוגמה לעיל המסילות הומוטופיות ביחס ל<math>\partial [0,1] = \{0,1\}</math>. באופן כללי, ב[[החבורהחבורה היסודיתיסודית|חבורה היסודית]] של מרחב טופולוגי, האיברים הם מסילות סגורות שמזוהות עד כדי הומוטופיה ביחס לקצוות קטע היחידה. עקרון זה מוכלל ב[[חבורות ההומוטופיה]].
 
== הגדרה של שקילות הומוטופית בין מרחבים ==
[[קובץ:Mug and Torus morph.gif|ממוזער|שמאל|250px|הומוטופיה בין ספל קפה לכעך ([[טורוס]])]]
 
בעזרת מושג ההומוטופיה ניתן להגדיר [[יחס שקילות]] חשוב בין מרחבים טופולוגיים: שני מרחבים טופולוגיים X ו-Y יקראו '''שקולים הומוטופית''' אם קיימות זוג העתקות <math>f:X \to Y</math> ו- <math>g:Y \to X</math> כך שההרכבה <math>f\circ g: Y \to Y</math> הומוטופית לפונקציית הזהות על Y ואילו <math>g\circ f: X \to X</math> הומוטופית לפונקציית הזהות על X.
 
<math>f:X \to Y</math> שמקיימת את התנאי תקרא '''שקילות הומוטופית'''.
 
מרחב ששקול הומוטפית לנקודה (כלומר פונקציית הזהות של המרחב היא נול -הומוטופית), ייקרא '''[[מרחב כוויץ]]'''.
 
נשים לב שמרחבים [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפיים]] הם בפרט שקולים הומוטופית, כי אם <math>f:X \to Y</math> הומיאומורפיזם, אז <math>f</math> ו-<math>g = f^{-1}</math> מקיימות את הדרוש בהגדרה. אבל הכיוון ההפוך רחוק מלהיות נכון - זוג מרחבים שקולים הומוטופית בדרך כלל אינם הומיאומורפיים, ויכולים להיות שונים מאוד זה מזה למראית עין. אנקדוטה ידועה מספרת שטופולוגים אינם מבחינים בין ספל הקפה שהם שותים לבין הכעך שהם אוכלים - כיוון שה[[טורוס]] וספל הקפה שקולים הומוטופית. מחלקת שקילות הומוטופית נקראת '''טיפוס הומוטופיה'''. '''תורת ההומוטופיה''' היא תחום עשיר בטופולוגיה המודרנית העוסק במיון טיפוסי ההומוטופיה של מרחבים.
 
נשים לב שמרחבים [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפיים]] הם בפרט שקולים הומוטופית, כי אם <math>f:X \to Y</math> הומיאומורפיזם, אז <math>f</math> ו-<math>g = f^{-1}</math> מקיימות את הדרוש בהגדרה. אבל הכיוון ההפוך רחוק מלהיות נכון - זוג מרחבים שקולים הומוטופית בדרך כלל אינם הומיאומורפיים, ויכולים להיות שונים מאוד זה מזה למראית עין. אנקדוטה ידועה מספרת שטופולוגים אינם מבחינים בין ספל הקפה שהם שותים לבין הכעך שהם אוכלים - כיוון שה[[טורוס]] וספל הקפה שקולים הומוטופית. מחלקת שקילות הומוטופית נקראת '''טיפוס הומוטופיה'''. '''תורת ההומוטופיה''' היא תחום עשיר בטופולוגיה המודרנית העוסק במיון טיפוסי ההומוטופיה של מרחבים.
==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=הומוטופיה}}