הומוטופיה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Mushthebull (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 3:
==הומוטופיה בין פונקציות==
[[קובץ:HomotopySmall.gif|ממוזער|שתי המסילות המסומנות בקו מקוטע הומוטופיות זו לזו. הומוטופיה אחת אפשרית מתוארת על ידי התקדמות הקו הרציף ביניהן. שימו לב שההומוטופיה במקרה זה משמרת את נקודות הקצה של המסילה.]]
'''הומוטופיה''' בין שתי [[
<math> H:X \times [0,1] \to Y</math> מה[[מכפלה טופולגית|מכפלה הטופולוגית]] של המרחב ''X'' במרווח היחידה [0,1], אל המרחב ''Y'', כך שעבור כל הנקודות ''x'' ב-
נוח לדמיין כי מרווח היחידה [0,1] מתאר את ציר הזמן. אז הפונקציה ''H'' מתארת דפורמציה רציפה בזמן של ''f'' ל-
בתמונה משמאל מתוארת הומוטופיה בין שתי מסילות, כלומר בין שתי פונקציות רציפות מקטע היחידה
<math>X = [0,1]</math>
למישור הציור <math>Y = \mathbb{R}^2</math>.
שורה 16:
===הומוטופיה ביחס לקבוצה===
בהשראת האנימציה לעיל, נאמר ששתי העתקות <math>f,g:X \to Y</math> הן '''הומוטופיות ביחס לקבוצה''' <math>A \subseteq X</math> אם יש ביניהן הומוטופיה כנ"ל, המקיימת גם
▲<center><math>\forall a \in A, t \in [0,1] : H(a,t)=H(a,0)</math>
כלומר, לכל אורך השינוי בין הפונקציות, הערכים על הקבוצה <math>A</math> לא משתנים. בפרט נובע <math>\forall a \in A : f(a)=H(a,0)=H(a,1)=g(a)</math> (זהו תנאי הכרחי ו'''לא''' מספיק להומוטופיה ביחס ל-<math>A</math>).
אם כן, בדוגמה לעיל המסילות הומוטופיות ביחס ל<math>\partial [0,1] = \{0,1\}</math>. באופן כללי, ב[[
== הגדרה של שקילות הומוטופית בין מרחבים ==
[[קובץ:Mug and Torus morph.gif|ממוזער|שמאל|250px|הומוטופיה בין ספל קפה לכעך ([[טורוס]])]]
בעזרת מושג ההומוטופיה ניתן להגדיר [[יחס שקילות]] חשוב בין מרחבים טופולוגיים: שני מרחבים טופולוגיים X ו-Y יקראו '''שקולים הומוטופית''' אם קיימות זוג העתקות <math>f:X \to Y</math> ו-
<math>f:X \to Y</math> שמקיימת את התנאי תקרא '''שקילות הומוטופית'''.
מרחב ששקול הומוטפית לנקודה (כלומר פונקציית הזהות של המרחב היא נול
נשים לב שמרחבים [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפיים]] הם בפרט שקולים הומוטופית, כי אם <math>f:X \to Y</math> הומיאומורפיזם, אז <math>f</math> ו-<math>g = f^{-1}</math> מקיימות את הדרוש בהגדרה. אבל הכיוון ההפוך רחוק מלהיות נכון
▲נשים לב שמרחבים [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפיים]] הם בפרט שקולים הומוטופית, כי אם <math>f:X \to Y</math> הומיאומורפיזם, אז <math>f</math> ו-<math>g = f^{-1}</math> מקיימות את הדרוש בהגדרה. אבל הכיוון ההפוך רחוק מלהיות נכון - זוג מרחבים שקולים הומוטופית בדרך כלל אינם הומיאומורפיים, ויכולים להיות שונים מאוד זה מזה למראית עין. אנקדוטה ידועה מספרת שטופולוגים אינם מבחינים בין ספל הקפה שהם שותים לבין הכעך שהם אוכלים - כיוון שה[[טורוס]] וספל הקפה שקולים הומוטופית. מחלקת שקילות הומוטופית נקראת '''טיפוס הומוטופיה'''. '''תורת ההומוטופיה''' היא תחום עשיר בטופולוגיה המודרנית העוסק במיון טיפוסי ההומוטופיה של מרחבים.
==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=הומוטופיה}}
|