תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←שלום |
|||
שורה 89:
::::::::שנית, מה שכתוב בתחילת הערך שפתרון משוואה ממעלה שלישית כרוך בשימוש "בלתי נמנע" במספרים מרוכבים, אינו לגמרי מדוייק. אמנם, יש משוואות שכדי לפותרן צריך להשתמש במספרים מרוכבים - וזה קורה אם למשוואה יש גם פתרונות מרוכבים, אבל אם למשוואה יש רק פתרונות ממשיים - אז כדי לפותרה לא צריך להשתמש במספרים מרוכבים (ראה על כך גם בפיסקה הבאה). שים לב, שמהבחינה הזאת, אין הבדל עקרוני בין משוואה ממעלה שנייה למשוואה ממעלה שלישית.
::::::::שלישית, ראיתי שהתחלת עם הטריק של דל פרו, וסיימת עם טריגונומטריה; אבל למעשה, לא תמיד צריך את הטריק של דל-פרו, ולא תמיד צריך טריגונומטריה, אלא זה תלוי במשוואה: אם יש לה פתרון ממשי יחיד (לצד שני פתרונות לא ממשיים) - אז מספיק הטריק של דל-פרו - ולא צריך טריגונומטריה, בעוד שאם יש לה שלושה פתרונות ממשיים - אז מספיק להשתמש בטריגונומטריה - ולא צריך את הטריק של דל-פרו (וגם לא צריך מספרים מרוכבים). מתוך קריאת הערך הבנתי, שברור לך שיש מקרים שבהם לא צריך טריגונומטריה; אז אדגים לך כעת את המקרה ההפוך: איך פותרים כל משוואה ממעלה שלישית בעלת שלושה פתרונות ממשיים - ע"י טריגונומטריה בלבד - בלי הטריק של דל-פרו (וממילא גם בלי מספרים מרוכבים). אדגים לך את זה ע"י המשוואה הפשוטה ביותר ממעלה שלישית, שבה אף מקדם של חזקה של X אינו מאופס - חוץ מהמקדם של X בריבוע
.
▲::::::::שלישית, ראיתי שהתחלת עם הטריק של דל פרו, וסיימת עם טריגונומטריה; אבל למעשה, לא תמיד צריך את הטריק של דל-פרו, ולא תמיד צריך טריגונומטריה, אלא זה תלוי במשוואה: אם יש לה פתרון ממשי יחיד (לצד שני פתרונות לא ממשיים) - אז מספיק הטריק של דל-פרו - ולא צריך טריגונומטריה, בעוד שאם יש לה שלושה פתרונות ממשיים - אז מספיק להשתמש בטריגונומטריה - ולא צריך את הטריק של דל-פרו (וגם לא צריך מספרים מרוכבים). מתוך קריאת הערך הבנתי, שברור לך שיש מקרים שבהם לא צריך טריגונומטריה; אז אדגים לך כעת את המקרה ההפוך: איך פותרים כל משוואה ממעלה שלישית בעלת שלושה פתרונות ממשיים - ע"י טריגונומטריה בלבד - בלי הטריק של דל-פרו (וממילא גם בלי מספרים מרוכבים). אדגים לך את זה ע"י המשוואה הפשוטה ביותר ממעלה שלישית, שבה אף מקדם של חזקה של X אינו מאופס - חוץ מהמקדם של X בריבוע, '''עבור K=0''', ואידך זיל גמור.
::::::::::::'''עבור K=0''':
.
::::::::<math>8x^3-6x+\sqrt{2}=0</math>
שורה 105 ⟵ 108:
::::::::<math>x=\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
.
::::::::::::'''עבור K=1''':
.
::::::::<math>8x^3-6x+\sqrt{2}=0</math>
::::::::<math>4x^3-3x=\frac{-\sqrt{2}}{2}</math>
::::::::<math>4\cos^3\left(\arccos x\right)-3\cos\left(\arccos x\right)=\frac{-\sqrt{2}}{2}</math>
::::::::<math>\cos\left(3\arccos x\right)=\cos\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi\right)</math>
::::::::<math>3\arccos x=\frac{3\pi}{4}+2\pi</math>
::::::::<math>\arccos x=\pi-\frac{\pi}{12}</math>
::::::::<math>x=-\cos\frac{\pi}{12}=-\cos\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\sqrt 6+\sqrt 2}{4}</math>
.
::::::::::::'''עבור K=2''':
.
::::::::<math>8x^3-6x+\sqrt{2}=0</math>
::::::::<math>4x^3-3x=\frac{-\sqrt{2}}{2}</math>
::::::::<math>4\cos^3\left(\arccos x\right)-3\cos\left(\arccos x\right)=\frac{-\sqrt{2}}{2}</math>
::::::::<math>\cos\left(3\arccos x\right)=\cos\left(\frac{3\pi}{4}+4\pi\right)</math>
::::::::<math>3\arccos x=\frac{3\pi}{4}+4\pi</math>
::::::::<math>\arccos x=2\pi-\frac{5\pi}{12}</math>
::::::::<math>x=\cos\frac{5\pi}{12}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{12}\right)=\sin\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{\sqrt 6-\sqrt 2}{4}</math>
::::::::[[משתמש:סמי20|סמי20]] - [[שיחת משתמש:סמי20|שיחה]] 22:09, 2 בדצמבר 2017 (IST)
:יפה מאוד! מכל מלמדי השכלתי.
:אבל איך תמצא לי את שני הפתרונות הנוספים של המשוואה?
:איך תפתור לי את המשוואה <math>x^3-15x-4=0</math> של קארדאנו? [[משתמש:יהודה שמחה ולדמן|יהודה שמחה ולדמן]] - [[שיחת משתמש:יהודה שמחה ולדמן|שיחה]] 00:33, 3 בדצמבר 2017 (IST)
::אוקי, לגבי שני הפתרונות הנוספים, זה טריויאלי, אבל בשבילך הוספתי לך למעלה (אחרי הפתרון עבור K=0) גם את שני הפתרונות הנוספים (עבור K=1 ועבור K=2). ראה שם.
::לגבי המשוואה הספציפית של קארדאנו, זה קצת פחות טריויאלי, ולכן אם תרצה - אז אַראה לך את הדרך לפתור את המשוואה הכללית (בעלת שלושת הפתרונות הממשיים): <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>, בלי להשתמש בטריק של פרו (וממילא בלי להשתמש במספרים מרוכבים), אלא תוך שימוש בטריגונומטריה נטו, אבל בשביל זה תצטרך להתחייב, שאם אתה מפרסם את זה, אז תעשה זאת רק אחרי שתיתן את הקרדיט למשתמש סמי20 מויקיפדיה העברית. הולך?
::ורק שתדע, שאין שום בעייה מתמטית - שכדי להגיע לפתרונה הממשי - צריך להשתמש במספרים לא ממשיים. אגב, זה תקף לגבי כל דבר, ולא רק לגבי מספרים ממשיים. למשל, אין שום בעייה מתמטית - שכדי להגיע לפתרונה הראציונאלי - צריך להשתמש במספרים לא ראציונאליים; וכן, אין שום בעייה מתמטית - שכדי להגיע לפתרונה החיובי - צריך להשתמש במספרים לא חיוביים. וכל כיוצא בכך. זה הכלל: אין שום בעייה מתמטית - שכדי לפתור אותה - צריך להשתמש במספרים מסוג יותר מורכב מזה של הפתרון עצמו. אגב: את הכלל העקרוני הזה, פיתחתי במסגרת תחום אחר שבו אני עוסק מזה זמן רב: הפילוסופיה של המתמטיקה (אפרופו שאלתך הישנה, באילו תחומי מתמטיקה אני עוסק). [[משתמש:סמי20|סמי20]] - [[שיחת משתמש:סמי20|שיחה]] 12:28, 3 בדצמבר 2017 (IST)
| |||