תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 63:
:<math>x+\frac{b}{3a}=\frac{2\sqrt{b^2-3ac}\cdot\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}+\frac{2}{3}k\pi\right)}{3a}</math>
:<math>x=\frac{2\sqrt{b^2-3ac}\cdot\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}+\frac{2}{3}k\pi\right)-b}{3a}</math>
 
==הפתרון הכללי של כל משוואה מסדר שלישי בעלת כמה פתרונות ממשיים שונים, מבלי להשתמש בשורשים מעוקבים ובמספרים לא ממשיים.==
 
לפתרון דלהלן היגעתי בהיותי בן 14, אחרי שקראתי באנציקלופדיה העברית את הערך "קרדנו ג'רולמו", ואחרי שהתוודעתי לנוסחת הקוסינוס של סכום זויות.
 
:<math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>
:<math>x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0</math>
:<math>x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}+\left(\frac{b^2}{3a^2}x-\frac{b^2}{3a^2}x\right)+\left(\frac{b^3}{27a^3}+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{b^3}{9a^3}\right)+\left(\frac{bc}{3a^2}-\frac{bc}{3a^2}\right)=0</math>
:<math>\left(x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{b^2}{3a^2}x+\frac{b^3}{27a^3}\right)+\left(\frac{c}{a}x+\frac{bc}{3a^2}-\frac{b^2}{3a^2}x-\frac{b^3}{9a^3}\right)-\frac{bc}{3a^2}+\frac{2b^3}{27a^3}+\frac{d}{a}=0</math>
:<math>\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3+\left(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}\right)\left(x+\frac{b}{3a}\right)-\left(\frac{bc}{3a^2}-\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{d}{a}\right)=0</math>
:<math>\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}\left(x+\frac{b}{3a}\right)-\left(\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}\right)=0</math>
:<math>\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}\left(x+\frac{b}{3a}\right)=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}</math>
:<math>\frac{27a^3}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}\left[\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]=\frac{27a^3}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}\left[\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}\right]</math>
:<math>\frac{27a^3}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3-\frac{9a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}</math>
:<math>4\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]^3-3\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}</math>
:<math>4\cos^3\left(\arccos\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]\right)-3\cos\left(\arccos\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]\right)=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}</math>
:<math>\cos\left(3\arccos\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]\right)=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}</math>
:<math>3\arccos\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]=\arccos\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}+2k\pi</math>
:<math>\arccos\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]=\frac{1}{3}\arccos\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}+\frac{2}{3}k\pi</math>
:<math>\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)=\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}+\frac{2}{3}k\pi\right)</math>
:<math>x+\frac{b}{3a}=\frac{2\sqrt{b^2-3ac}\cdot\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}+\frac{2}{3}k\pi\right)}{3a}</math>
:<math>x=\frac{2\sqrt{b^2-3ac}\cdot\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}+\frac{2}{3}k\pi\right)-b}{3a}</math>
 
===נספח: איך ידעתי מראש מהו הגורם, שבו יש להכפיל את שני צדי המשוואה השביעית דלעיל, ושתוצאת הכפלתו בהן - הייתה המשוואה השמינית דלעיל?===
המטרה שהיצבתי לעצמי מראש הייתה, להכפיל באיזשהו גורם <math>p</math> את שני צדי המשוואה השביעית הנ"ל <math>\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}\left(x+\frac{b}{3a}\right)=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}</math>, כדי שצידה השמאלי יהיה זהה חשבונית לביטוי מטיפוס <math>4\left[t\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]^3-3\left[t\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]</math>, כדי שביטוי זה ישקף את נוסחת הקוסינוס של מכפלת זוית נתונה פי שלושה.
 
כך קיבלתי אפוא משוואה חדשה: <math>p\left[\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]=4\left[t\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]^3-3\left[t\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]</math>.
 
כלומר <math>\left(px^3+\frac{pb}{a}x^2+\frac{pb^2}{3a^2}x+\frac{pb^3}{27a^3}\right)-\frac{pb^2}{3a^2}x-\frac{pb^3}{9a^3}+\frac{pc}{a}x+\frac{pcb}{3a^2}=\left(4t^3x^3+\frac{4t^3b}{a}x^2+\frac{4t^3b^2}{3a^2}x+\frac{4t^3b^3}{27a^3}\right)-3tx-\frac{tb}{a}</math>.
 
כלומר <math>px^3+\frac{pb}{a}x^2+\frac{pc}{a}x+\left(\frac{pb^3}{27a^3}-\frac{pb^3}{9a^3}+\frac{pcb}{3a^2}\right)=4t^3x^3+\frac{4t^3b}{a}x^2+\left(\frac{4b^2}{3a^2}t^3-3t\right)x+\left(\frac{4t^3b^3}{27a^3}-\frac{tb}{a}\right)</math>
 
כדי ששני צידי המשוואה האחרונה (שנעלמיה הם <math>,p,t</math> ושבה <math>x</math> הנו פרמטר), יהיו אכן זהים, מספיק לדרוש: א. שיהיו זהים המקדמים של <math>x^3</math> בשני צידי המשוואה. ב. שיהיו זהים המקדמים של <math>x^2</math> בשני צידי המשוואה; ג. שיהיו זהים המקדמים של <math>x</math> בשני צידי המשוואה. ד. שיהיו זהים שני המספרים החופשיים בשני צידי המשוואה.
 
 
אם הדרישה הזאת מתקיימת, אז במיוחד מתקיים:
 
א'. שזהים המקדמים של <math>x^3</math> בשני צידי המשוואה.
ב'. שזהים המקדמים של <math>x</math> בשני צידי המשוואה.
 
 
סעיף א' דורש למעשה כי:
 
(1) <math>px^3=4t^3x^3</math>
 
סעיף ב' דורש למעשה כי:
 
(2) <math>\frac{pc}{a}x=\left(\frac{4b^2}{3a^2}t^3-3t\right)x</math>
 
מתוך (1) נובע:
 
(3) <math>p=4t^3</math>
 
מתוך (2) נובע:
 
(4) <math>p=\frac{4b^2}{3ac}t^3-\frac{3a}{c}t</math>
 
מצירוף (3),(4) נובע:
 
<math>4t^3=\frac{4b^2}{3ac}t^3-\frac{3a}{c}t</math>
 
<math>12act^2=4b^2t^2-9a^2</math>
 
<math>9a^2=4b^2t^2-12act^2</math>
 
<math>9a^2=\left(4b^2-12ac\right)t^2</math>
 
<math>\frac{9a^2}{4b^2-12ac}=t^2</math>
 
<math>\sqrt{\frac{9a^2}{4b^2-12ac}}=t</math>
 
מכאן עם (3) נובע:
 
<math>p=\frac{27a^3}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}</math>
 
מ.ש.ל.