סמי20

הצטרף ב־28 בנובמבר 2006
נוספו 7 בתים ,  לפני 3 שנים
מ
לפתרון דלהלן היגעתי בהיותי בן 14, אחרי שקראתי באנציקלופדיה העברית את הערך "קרדנו ג'רולמו", ואחרי שהתוודעתי לנוסחת הקוסינוס של סכום זויות.
 
:<math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>
 
:<math>x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0</math>
:<math>x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}+\left(\frac{b^2}{3a^2}x-\frac{b^2}{3a^2}x\right)+\left(\frac{b^3}{27a^3}+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{b^3}{9a^3}\right)+\left(\frac{bc}{3a^2}-\frac{bc}{3a^2}\right)=0</math>
 
:<math>\left(x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{b^2}{3a^2}x+\frac{b^3}{27a^3}\right)+\left(\frac{c}{a}x+\frac{bc}{3a^2}-\frac{b^2}{3a^2}x-\frac{b^3}{9a^3}\right)-\frac{bc}{3a^2}+\frac{2b^3}{27a^3}+\frac{d}{a}=0</math>
:<math>\left(x^3+\frac{b}{3aa}\right)x^32+\left(\frac{c}{a}-x+\frac{d}{a}+\left(\frac{b^2}{3a^2}\right)\left(x+-\frac{b^2}{3a^2}x\right)-+\left(\frac{bcb^3}{3a27a^23}-+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{db^3}{a9a^3}\right)+\left(\frac{bc}{3a^2}-\frac{bc}{3a^2}\right)=0</math>
 
:<math>\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}\left(x+\frac{b}{3a}\right)-\left(\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}\right)=0</math>
:<math>\left(x^3+\frac{b}{3aa}\right)x^3-2+\frac{b^2-3ac}{3a^2}x+\frac{b^3}{27a^3}\right)+\left(\frac{c}{a}x+\frac{bc}{3a^2}-\frac{b^2}{3a^2}x-\frac{b^3}{9a^3}\right)=-\frac{bc}{3a^2}+\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}+\frac{d}{a}=0</math>
 
:<math>\frac{27a^3}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}\left[\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]=\frac{27a^3}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}\left[\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}\right]</math>
:<math>\frac{27a^3}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3-+\left(\frac{9ac}{2a}-\sqrtfrac{b^2-3ac}{3a^2}\right)\left(x+\frac{b}{3a}\right)=-\left(\frac{9abcbc}{3a^2}-\frac{2b^3-}{27a^2d3}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrtfrac{b^2-3acd}{a}\right)=0</math>
 
:<math>4\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]^3-3\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}</math>
:<math>4\cos^3\left(\arccos\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]\right)^3-3\cos\left(\arccos\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}{3a^2}\left(x+\frac{b}{3a}\right)-\right]\right)=left(\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b27a^2-3ac3}\right)\sqrt{b^2-3ac}}=0</math>
 
:<math>\cos\left(3\arccos\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]\right)=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}</math>
:<math>3\arccos\left[(x+\frac{3ab}{23a}\sqrtright)^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]=\arccos\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b27a^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac3}}+2k\pi</math>
 
:<math>\arccos\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]=\frac{1}{3}\arccos\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}+\frac{2}{3}k\pi</math>
:<math>\frac{3a27a^3}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}\left[\left(x+\frac{b}{3a}\right)=^3-\cosfrac{b^2-3ac}{3a^2}\left(x+\frac{1b}{33a}\arccosright)\right]=\frac{9abc-2b27a^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}+\left[\frac{29abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}k\pi\right)]</math>
 
:<math>x+\frac{b}{3a}=\frac{2\sqrt{b^2-3ac}\cdot\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}+\frac{2}{3}k\pi\right)}{3a}</math>
:<math>x=\frac{27a^3}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}\cdotleft(x+\cosfrac{b}{3a}\right)^3-\frac{9a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{1b}{33a}\arccosright)=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}+\frac{2}{3}k\pi\right)-b}{3a}</math>
 
:<math>4\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]^3-3\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}{3a^2}\left(x+\frac{b}{3a}\right)-\left(right]=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a2\left(b^3}2-3ac\right)=0\sqrt{b^2-3ac}}</math>
 
:<math>4\cos^3\left(\arccos\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]^3\right)-3\cos\left(\arccos\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]\right)=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}</math>
 
:<math>\cos\left(3\arccos\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]\right)=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}</math>
 
:<math>3\arccos\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]=\frac{1}{3}\arccos\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}+\frac{2}{3}k2k\pi</math>
 
:<math>\arccos\left[\frac{27a^33a}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}\left[\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}\left(x+right]=\frac{b1}{3a3}\right)\right]=arccos\frac{9abc-2b^3-27a^32d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}\left[+\frac{9abc-2b^3-27a^2d2}{27a^3}k\right]pi</math>
 
:<math>\left(x^3+\frac{b3a}{a}x^2+\fracsqrt{b^2-3ac}{3a^2}\left(x+\frac{b^3}{27a^33a}\right)+=\cos\left(\frac{c1}{a3}x+\arccos\frac{bc}{3a9abc-2b^2}3-\frac{b27a^22d}{3a^2}x-\frac{left(b^3}{9a^3}2-3ac\right)-\fracsqrt{bc}{3ab^2-3ac}}+\frac{2b^32}{27a^3}+k\frac{d}{a}=0pi\right)</math>
 
:<math>x+\frac{b}{3a}=\frac{2\sqrt{b^2-3ac}\cdot\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}+\frac{2}{3}k\pi\right)}{3a}</math>
 
<math>x=\frac{2\sqrt{b^2-3ac}\cdot\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}+\frac{2}{3}k\pi\right)-b}{3a}</math>
 
===נספח: איך ידעתי מראש מהו הגורם, שבו יש להכפיל את שני צדי המשוואה השביעית דלעיל, ושתוצאת הכפלתו בהן - הייתה המשוואה השמינית דלעיל?===
<math>12act^2=4b^2t^2-9a^2</math>
 
<math>9a^2=4b^2t^2-12act^2=\left(4b^2-12ac\right)t^2</math>
 
<math>9a^2=\left(4b^2-12ac\right)t^2</math>
 
<math>\frac{9a^2}{4b^2-12ac}=t^2</math>
 
<math>t=\sqrt{\frac{9a^2}{4b^2-12ac}}=t\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}</math>
 
מכאן עם (3) נובע: