מרחב מנה (אלגברה ליניארית) – הבדלי גרסאות

* יהי <math>\left(X,\mathcal{F},\mu \right)</math> [[מרחב מידה]]. נקבע <math>1 \leq p < \infty</math> כלשהו, ויהי <math>L^p</math> אוסף [[פונקציה מדידה|הפונקציות המדידות]] מהצורה <math>X \to \mathbb{R}</math> או <math>X \to \mathbb{C}</math>, המקיימות <math>\|f\|_p \equiv \left( \int_X |f|^p\;\mathrm{d}\mu \right)^{1/p}<\infty</math>. מ[[אי-שוויון מינקובסקי]] נובע כי <math>\|\|_p</math> מקיימת את [[אי-שוויון המשולש]], ולכן היא [[סמי-נורמה]] של <math>L^p</math>. כדי להפוך את <math>\|\|_p</math> ל[[נורמה]], התכונה החסרה היא כי <math>f \neq g \Longrightarrow \|f-g\|_p \neq 0</math>. כדי לתקן זאת, ניתן להתבונן בתת-המרחב <math>W = \ker\|\|_p = \left\{f \in L^p \mid \|f\|_p = 0 \right\}</math> (נשים לב כי מרחב זה אינו תלוי ב-<math>p</math>), ונקבל כי על המרחב <math>L^p/W</math>, מתקבלת על ידי <math>\|\|_p</math> [[נורמה]] טבעית.