מרחב-זמן – הבדלי גרסאות

בשלהי המאה התשע עשרה ובתחילת המאה העשרים, החלה להתערער התפיסה הפיזיקלית הקלאסית מודרנית של הזמן והמרחב כשני גדלים נפרדים, ומושגי המרחב והזמן החלו לאבד את מוחלטותם. תורת היחסות, תאוריית הדגל של מהפכה מדעית זו, לא רק הצביעה על כך שגדלים אלה אינם מוחלטים, תלויים בצופה המודד אותם ומשתנים ממערכת ייחוס אחת למשנה, אלא גם על כך שהם משולביםשרוגים ותלויים '''זה בזה'''. המרחב-זמן כמושג, רעיון וכלי מתמטי מדעי פותח במסגרת חקירתה וגיבושה של תפיסה מדעית זו, אך להופעתו בזירה המדעית קיימות כמה הטרמות. ההתייחסות הראשונה לרעיון המרחב-זמן כמושג מתמטי הופיעה בשנת 1754, בערך "ממד" מן ה[[האנציקלופדיה הגדולה|אנציקלופדיה הגדולה]], שנכתב על ידי [[ז'אן לה רון ד'אלמבר]]. התייחסות מוקדמת אחרת נמצאת בכתבים של [[ז'וזף לואי לגראנז']] העוסקים ב[[מכניקה אנליטית]] ומציגים את הרעיון כי "ניתן להתבונן במכניקה כבגאומטריה של ארבעה ממדים, ובמכניקה אנליטית כבהרחבה של [[גאומטריה אנליטית]]"{{הערה|Joseph Louis Lagrange, "Theory of Analytic Functions" (1797, 1813)}}. את [[אלגברת הקווטרניונים של המילטון|הקווטרניונים]], מערכות המספרים שהמציא [[ויליאם רואן המילטון]] בשנת 1843, ראה המילטון ממציאם כיישויות המאופיינות בממדים מעורבים של מרחב וזמן{{הערה|"נאמר שלזמן יש ממד אחד בלבד ולמרחב שלושה ממדים... הקווטרניון המתמטי מערב את שני האלמנטים; אם משתמשים במונחים טכניים ניתן לכנות זאת 'זמן ומרחב', או 'מרחב וזמן': ובמובן זה לקווטרניון יש ארבעה ממדים, או שהוא לפחות מתייחס לארבעה-ממדים. כמו גם לצורה בה הממד האחד של הזמן והשלושה של המרחב, עשויים להיות חגורים בשרשרת הסימנים." מדברי המילטון, ראו: Geometric methods and applications: for computer science and" engineering",Jean H. Gallier, 2001, Chapter 8, page 249.}}. אלגברת הקווטרניונים של המילטון, שמאפייניה האלגבריים מספיקים לבניית מודל מרחב-זמן ולאיפיון הסימטריה שלו, הופיעה בזירה המדעית כמחצית המאה לפני הניסוח הפורמלי של תורת היחסות, ופיתוחים שלה משמשים עד היום בתחשיבים ותיאורים מדעיים שונים. עם זאת, בתקופתו של המילטון, נותרו הקווטרניונים בגדר כלי פיזיקלי-מתמטי שנוי במחלוקת שמשמעותו לא הובנה לעומקה. תקדים חשוב אחר לשילוב ממדי המרחב והזמן מופיע במחקר של [[ג'יימס קלרק מקסוול]], משלהי המאה ה-19, העושה שימוש [[משוואה דיפרנציאלית חלקית|במשוואות דיפרנציאליות חלקיות]] לפיתוח [[אלקטרודינמיקה]] המתייחסת לארבעת הממדים. הישגיו של מקסוול בתחום היוו השראה להתפתחויות המדעיות הבאות ולהתגבשותה המואצת של תפיסה חדשה של המרחב והזמן, ולידת מושג המרחב-זמן המוכר לנו.

המודל המתמטי-גאומטרי של מינקובסקי מבטא את הקישוריות בין ממדי המרחב והזמן בשלבו אותם למערכת אחת. זהו מרחב מתמטי הנפרש על ידי קואורדינטות שקולות של מרחב וזמן כאחת{{הערה|שקולות - כבמקרה של צירי האורך, רוחב וגובה הפורשים את המרחב התלת-ממדי [[מערכת צירים קרטזית|הקרטזיאני]].}}, בו כל נקודה מייצגת אירוע מרחבי-זמני מסוים, וכל קו מייצג השתלשלות אירועים אפשרית. מאחר שקל ויעיל לאפיין אירוע פיזיקלי במונחים של מקום וזמן, זהו כלי נוח להצגה וחקירה של אירועים, כמו גם של מרחב האירועים עצמו. באמצעות דיאגרמות שונות של מרחב-זמן הצליח מינקובסקי לבחון ולהמחיש אספקטים יחסותיים שונים. הרעיון של מינקובסקי הוביל בעצם לתפיסת תורת היחסות הפרטית בצורה גאומטרית יותר, ובכך העניק מובן גאומטרי לממצאים אמפיריים ותאורטיים שונים, כגון [[טרנספורמציות לורנץ]], והשפיע לא מעט על התפתחות המדע. למעשה, ניתן לומר כי גאומטריית המרחב-זמן שהציע מינקובסקי תרמה משמעותית לפיתוח תורת היחסות הכללית, מאחר שאת התיאור המדויק של השפעת ה[[גרביטציה]] על המרחב ועל הזמן - נושא המחקר המרכזי של תורת היחסות הכללית - פשוט יותר להמחיש ולהציג כ'עיקום' או כ'עיוות' במארג הגאומטרי של המרחב-זמן. ככלל, ניתן לראות בתורת היחסות הכללית מחקר מעמיק של המרחב-זמן. מודל המרחב-זמן שהציגה תורת היחסות הכללית מהווה שכלול של מרחב-זמן מינקובסקי; זהו מרחב לא-שטוח ודינמי, המתאפיין בעקמומיות ועיוותים שהם תוצא של פיזור המסה והאנרגיה בו{{הערה|ראו, סטיבן הוקינג עמוד 36-38}}. מודל מתמטי זה מעמיד 'עולם' בו הממדים ארוגים זה בזה לרצף יחיד; בו לא רק הממדים מהווים רצף, אלא גם עולם התופעות הפיזיקליות עצמו מהווה [[מרחב מטרי שלם|רצף]]. זוהי [[יריעה]] דינמית, רציפה ושלמה של אירועים, בלא 'חורים', שבה כל אירוע מוקף באופן מלא באירועים 'שכנים', ממומשים או לפחות אפשריים{{הערה|Albert Einstein, '''Relativity: The Special and General Theory''' (1920), [http://www.bartleby.com/173/17.html chapter 17] באתר [http://www.bartleby.com/173 Bartleby.com ]}} - מארג עולם אחד, שלכלשבמובן האירועיםמסוים שבוארבעת ישהממדים "היטלים"אינם עלאלא כל אחד מארבעת הממדיםהיטלים שלו {{הערה|סטיבן הוקינג, '''קיצור תולדות הזמן''', ספריית מעריב, עמוד 28-32}}.

המרחב-זמן עצמו אינו תלוי בנקודת המבט של הצופה, אך ייצוגו של המרחב נתון לבחירת הצופהלבחירתו. לכן, לשם ייצוג או חקירה של התרחשות פיזיקלית, נוכל לבחור במודל המרחב-זמן הנוח לנו - מודל המיוצג על ידי מערכת הקואורדינטות המרחבית-זמנית הנוחה לנו, ואשר מייצג את מערכת הייחוס הנוחה לנו.

הגאומטריה של המרחב-זמן משתנה בנוכחות מסה ותחת השפעת [[תאוצה]] וסיבוב, לכן, כדי להבין את מבנהו ותכונותיו של מרחב-הזמן, מוטב תחילה להתייחס למרחב-זמן שנהוג לראותו כ'''מרחב תורת היחסות הפרטית''' - המרחב-זמן המצטייר מתוך התייחסות ל[[מערכות ייחוס#מערכת ייחוס אינרציאלית|מערכות אינרציאליות]] בלבד (תנועות במהירויות קבועות). רכיבי '''המרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית''' קבועים בכל מערכת ייחוס; אין זה [[מרחב אוקלידי]], אך ציריו נותרים ישרים, ועל כן הוא מהווה מרחב שטוח{{הערה|כהגדרה, מרחב שטוח הוא מרחב שניתן לתארו באמצעות מערכת קרטזית יישרת זווית, שמספר ציריה זהה למספר ממדי המרחב.}}, [[הומוגניות (פיזיקה)|הומוגני]] (זהה בכל מקום-זמן) ו[[איזוטרופיות|איזוטרופי]] (איןכל הכיוונים בןבו כיווןשווי "מועדף"ערך){{הערה|בהתקיים תכונה זו, לבחירה של ראשית הצירים וכיוונם אין משמעות מעבר לנוחות.}}. נהוג לכנות מרחב זה בשם '''מרחב פסאודו-אוקלידי''' או '''מרחב מינקובסקי'''. כדי להמחיש את תכונותיו של המרחב-זמן הארבעה-ממדי נהוג להשתמש בתרשימים בהם צירי המרחב מיוצגים על ידי שני צירים או ציר יחיד. דיאגרמות מעין אלו שימשו את מינקובסקי במחקרו, וידועות בשמותומכונות [[דיאגרמות מינקובסקי]] או '''דיאגרמות מרחב-זמן'''.

בניית מודל גאומטרי ארבעה-ממדי של מרחב-זמן, באמצעות מערכת [[קואורדינטות קרטזיות]] (ניתן לבחור במערכת קואורדינטות אחרת), נעשית על ידי הוספה של ציר זמן לשלושת הצירים המרחביים. כדי שהיחס בין הצירים השונים יהיה פשוט וסימטרי (מרחק זהה על כל ציר ייצג גודל זהה) וכך גם הגדלים במרחב, מוטב לבחור בקואורדינטות בעלות אותם ממדים. אם בחרנו ביחידות אורך (הבחירה הפשוטה יותר), נאחד את כלל הצירים על ידי שימוש באותה יחידת מרחק, גם בציר הזמן. {{ש}}

{{ש}}ההמרה של יחידות זמן למרחק נעשית על ידי הכפלה של יחידות הזמן במהירות; מאחר שמהירות האור היא גודל קבוע בכל מערכת, משתמשים בה להמרה, ומציגים את יחידות הציר הרביעי (ציר הזמן) כיחידות ct{{הערה|או יחידות cti כבמרחב מינקובסקי המקורי. ראו הסבר בהמשך, בהתייחסות לריבוע האינטרוול.}}, כאשר c היא [[מהירות האור]] בריק. כעת, להשלמת ההאחדה, נותר רק להתאים ספציפית את יחידות ct ליחידת המרחק המסוימת בה בחרנו. לדוגמה, אם בחרנו ביחידת מרחק שהיא קילומטר, כל יחידת ct תייצג גם היא קילומטר, כאשר כיחידת זמן (t) ישמש הזמן שהאור עובר מרחק של קילומטר. במצב זה, יחידות ציר ct עשויות עדיין להיקרא יחידות זמן, מאחר שניתן להתבונן בהן כיחידות זמן שהוכפלו ב[[סקלר (פיזיקה)|סקלר]]. עם זאת במרחב-זמן ניתן למצוא גם קריאה רעיונית להסתפק ביחידת מידה אחת, של מרחק או של זמן, ולבטא מרחקים וזמנים באמצעות הגודל המשותף לכלל הצופים, הוא מהירות האור בריק{{הערה|אחד הפוסטולטים המונחים בבסיס תורת היחסות הפרטית הוא פוסטולט 'אינוואריאנטיות מהירות האור', הקובע כי מהירות האור היא גודל גבולי וקבוע בכל מערכות הייחוס. את חוק הטבע הזה ביטאה התאוריה האלקטרומגנטית של מקסוול שנוסחה במאה ה-19, והוא הוכח מאוחר יותר בניסוי מייכלסון-מורלי. ראו, עמוס הרפז, עמוד 54.}}.

*'''נקודת עולם''' - [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] במרחב-זמן - היא רביעיהסט מסוימתמסוים של קואורדינטות (x, y, z, ct) אשר מייצגתמייצג אירוע רגעי מסוים, מרחבי וזמני. זהו גודל פיזיקלי בעל כיוון - [[וקטור (פיזיקה)|וקטור]] ארבעה ממדי ([[4-וקטור]]), המכונה '''וקטור המקום''' או '''וקטור המאורע'''. לשם נוחות, ניתן לאגד את הקואורדינטות המרחביות לגודל אחד - <math>\vec{r}</math> - הוא וקטור המקום התלת-ממדי, ולציין נקודת עולם באמצעות (<math>\vec{r}, ct </math>).

לפי [[תורת היחסות הפרטית#עקרונות תורת היחסות|עקרון היחסות]], איןכלל מערכתמערכות ייחוסהייחוס מועדפתשוות ערך, וכדיולשם לתארתיאור מאורעהעולם אואנו אוסף של מאורעות, ניתןיכולים לבחור בכלבמערכת מערכתהנוחה ייחוסלנו. על כן, בדרך כלל בוחרים את המערכת שבה התיאור של המאורעות הוא הפשוט ביותר מבחינה מתמטית. מערכת המוגדרתצופה כךאינרציאלי, שצופהזו נמצאהנעה בהאיתו בנקודהתקרא שרביעית הקואורדינטות שלה קבועות, מכונה "מערכת המנוחה של הצופה". מדידהמדידת של זמןהזמן ושלוהנתונים מקוםהמרחביים המאפיינים אירוע מסוים, במערכותממערכות אינרציאליות שונות, תניב תוצאות שונות, להוציא מדידה של מהירות האור. הקשר בין הגדלים שמודדיםשימדדו צופים שונים הוא תוצא של המהירות היחסית ביןשל המערכות האינרציאליות, ומבוטא במשוואות שלהטרנספורמציה [[טרנספורמציותשל לורנץ]], הקושרות בין הזמן והמרחב. מאותהתופעה סיבה,דומה מתקיימת גם לגבי המרחב-זמן: נראההמרחב-זמן ייראה שונה במערכותבכל מערכת ייחוס שונותאינרציאלית; לכלעבור כל צופה, צירי המערכת נראיםיראו שונים, וכך גם קוי-העולםרכיבי המסלול העולמי של אותו גוף. במערכות
אם שונות.ניקח לדוגמה: מסלול קרן אור העובר דרך ראשית הצירים, כמוצג בתרשים משמאל., הציריםנוכל שללראות כיצד צירי מערכת הצופה הראשונה (המערכת שציריה הם ct ו-x) נבדלים מאלו של מערכת הצופה השנייה (המערכת שציריה הם 'ct ו-'x), על אף שמהירות הקרן זהה בשתי המערכות. דיאגרמה זו ממחישה באופן גאומטרי את הקשר בין מערכות ייחוס אינרציאליות ומעניקה לו משמעות גאומטרית{{הערה|הדיאגרמה מתארת תנועה על ציר מרחבי יחיד, תנועה חד-ממדית, ללא שינוי בצירי y ו- z, אך התיאור שהיא מציגה נותר כללי עבור כל תנועה מרחבית בקו ישר. ראו, עמוס הרפז 51}}; במובן זה, האפקטים המוכרים של תורת היחסות, התכווצות האורך והתארכות הזמן, הם שינויים גאומטריים במרחב-זמן{{הערה|ראו, יובל נאמן, עמוד 24}}.

הניסוח המתמטי של פוסטולט האינוואריאנטיות של מהירות האור לתנועהעבור תנועה חד-ממדית הוא:

ולכן, בהתייחס למסלול קרן אור בשתינקבל מערכותעבור אינרציאליותמערכת הצופה הראשונה והשנייה כי:

כהכללה, וקטור האורך הזה, שהוא גודל אינווריאנטי, מייצג את המטריקה של המרחב התלת ממדי. ניתן לבצע חישוב של המרחק בין שתי נקודות במרחב-זמן בצורה דומה, אך גודל זה אינו מבטא המטריקה של המרחב-זמן, ולמעשה נעדר משמעות פיזיקלית כללית. לכן ישנה התייחסות למשוואה שונה, מאותה צורה, המבטאת מספרכמה וכמה הנחות ואפקטים מתורת היחסות, היא 'ריבוע האינטרוול' (או בקצרה, 'האינטרוול'):

ריבוע האינטרוול הוא גודל אינווריאנטי תחת טרנספורמצית לורנץ, כלומר, נשמר בכל מערכת ייחוס אינרציאלית{{הערה|מערכת ייחוס שבה מתקיימים שלושת [[חוקי התנועה של ניוטון]], או בהגדרה אחרת, מערכת ייחוס שאינה מאיצה יחסית למערכת אינרציאלית אחרת}} ומכאן חשיבותו{{הערה|"אינווריאנטיות של תכונות גאומטריות של וקטורים מייצגת אינווריאנטיות של תכונות פיזיקליות של עצמים שאותן מייצגים הווקטורים". ראו, עמוס הרפז, עמוד 26}}. ביטוי זה מתקבל מהצגת הניסוח המתטי של פוסטולט 'האינוואריאנטיות של מהירות האור' (<math>\ \frac{\Delta r}{\Delta t} = \frac{\Delta r'}{\Delta t'}= c </math>{{הערה|r הוא המרחק המרחבי המשוקלל.}}) כמשוואת ריבועי מרחקים בעבורעבור תנועת אור:

ריבוע האינטרוול עשוי גם להופיע בצורהבתצורה הבאה: <math> {\Delta S^2} = {\Delta x^2} + {\Delta y^2} + {\Delta z^2} - {c^2 \Delta t^2} </math> {{ש}}

הבחירה בין הצורותהתצורות היא עניין של [[מוסכמת סימון (פיזיקה)|מוסכמה]] בלבד, שכן שתי הצורותהתצורות שקולות מבחינת משמעותן{{הערה|<math>\ {\Delta S^2} </math> יכול לקבל סימן פלוס או מינוס ולתאר אותה מערכת פיזיקלית בדיוק, כל עוד משתמשים באותה תוצרת סימון באופן עקבי. בחירת הסימון קובעת את סימני האינטרוולים דמויי המרחב והזמן - ראו, התייחסות בסעיפים הבאים.}}.

ריבוע האינטרוול מתאפס בעבורעבור חלקיק הנע במהירות האור (- בשל השקילות בין ct למרווח המרחבי), - אך עשוי לקבל ערכים שונים, חיובים או שליליים, בעבורעבור תנועה שאינה במהירות האור. {{ש}}באמצעות [[טרנספורמציות לורנץ]] המאפשרות מעבר ממערכת ייחוס אחת למשנה, ניתן להוכיח כי ביטוי האינטרוול בעבורעבור <math>\ c\Delta t' </math>, <math>\ \Delta z' </math>, <math>\ \Delta y' </math>, <math>\ \Delta x' </math> שווה לביטוי האינטרוול בעבורעבור <math>\ c\Delta t </math>, <math>\ \Delta z </math>, <math>\ \Delta y </math>, <math>\ \Delta x </math>, ובכך להראות כי הוא נשמר בכל מערכת ייחוס, בעבורעבור כל גוף - כלומר, גם כשערכו שונה מאפס.

בעבורעבור ריבוע אינטרוול שערכו אפס, המרחק <math>\Delta S</math> הוא קו ישר; בעבורעבור ערך שונה מאפס, <math>\Delta S</math> מהווה [[היפרבולה]]. מכיוון שהמרחקים במרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית אינם בהכרח חיוביים, מרחב זה לא מקיים את התכונה הראשונה מתוך שלוש התכונות המשמשות להגדרת מטריקה, ועל כן המטריקה שלו מהווה הרחבה של מושג המטריקה הפורמלי, ומוגדרת כפסדו-מטריקה.

מביטוי ריבוע האינטרוול ניתן ללמוד על אופי המרחב: אם בביטוי מופיעות [[מכפלה מעורבת|מכפלות מעורבות]] של קואורדינטות, משמעות הדבר היא שבמערכת קיים קשר של תלות ([[פונקציה]]) בין הקואורדינטות, שיבוא לידי ביטוי בתיאור האירועים בה. מכפלות שכאלה מעידות על עקמומיות המרחב (תורת היחסות הכללית מתייחסת גם למקרים אלה). במקרה ההפוך, בו אין בביטוי ריבוע האינטרוול מכפלות מעורבות של קואורדינטות, הקואורדינטות במערכת הן בלתי תלויות; קואורדינטה בלתי תלויה - שאינה מופיעה במכפלות מעורבות בביטוי ריבוע האינטרוול, ומכאן שאין קשר מובנה בינה לבין הקואורדינטות האחרות - מכונה 'קואורדינטה גאוסית' והיא ניצבת לקואורדינטות האחרות{{הערה|עמוס הרפז, עמוד 48}}. ב'''מרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית''' לא מופיעים בביטוי ריבוע האינטרוול מכפלות מעורבות, ומכאן שכלל הקואורדינטות ניצבות זו לזו, והמרחב "שטוח",. כלומר העקמומיות שלו היא אפס.

אינטרוול דמוי זמן הוא האינטרוול בין שני אירועים שהמרווח הזמני ביניהם גדול מן המרווח המרחבי - כלומר, אינטרוול חיובי. מאחר שגוף חומרי (בעל [[מסת מנוחה]] גדולה מאפס) אינו יכול לנוע במהירות גדולה ממהירות האור, המרווח הזמני בין שני מאורעות ש'''אינם''' על מסלול קרן אור יהיה תמיד גדול מן המרווח המרחבי ביניהם. לכן, אינטרוול דמוי זמן מאפייןיאפיין על כן אירועים הנמצאים על מסלול תנועתו של גוף חומרי.

שני אירועים שהאינטרוול ביניהם הוא דמוי-זמן, עשויים להיות קשורים בקשר סיבתי (אם של השפעה חומרית או של אנרגיית אור), וניתן להעביר ביניהם מידע. תכונות אלו נגזרות מכך שצליחת המרווח המרחבי ביניהם היא בגדר האפשר, כלומרזאת אומרת, אינה נדרשת למהירות גבוהה ממהירות האור.
קווי עולם ששיפועם גדול מ-1, או קטן מ-1-, מתאפייניםיתאפיינו באינטרוול דמוי-זמן, ונקראים 'קווים דמויי-זמן'.

אינטרוול דמוי-מרחב הוא האינטרוול בין שני אירועים שהמרווח הזמני ביניהם קטן מן המרווח המרחבי - אינטרוול שלילי. מאחר שלא ניתן לעבור את מהירות האור, קרן-אור לא יכולה לצלוח את המרווח המרחבי בין שני מאורעות שהאינטרוול ביניהם דמוי-מרחב, ולאלא תוכל לצלוח קרן אור, כל שכן גוף חומרי. על כן, שני אירועים שהאינטרוול ביניהם הוא דמוי-מרחב אינם יכולים להיות קשורים בקשר סיבתי (אם של השפעה חומרית או של אנרגיית אור), ולא ניתן להעביר ביניהם מידע.
קווי עולם ששיפועם גדול מ-1- וקטן מ-1 מתאפייניםיתאפיינו באינטרוול דמוי-מרחב, ונקראים 'קווים דמויי-מרחב'.

[[קובץ:World line-he.svg|שמאל|ממוזער|200px|[[קונוס האור|חרוטי העבר והעתיד]] - מסלולי עולם של גוף חומרי העובר דרך הראשית נמצאיםימצאו בתוך החרוטים (קונוסים)הקונוסים. החרוטיםהקונוסים מפרידים בין הסוגי שלסוגי קווי העולם. החרוטים באיור הם תלת-מימדים (כשכוללים את מימד הזמן), ולא ארבע-מימדים, בגלל מגבלת ההמחשה.]] {{ש}}

: <math>\ {\Delta S^2}= 0 </math>

אינטרוול דמוי-אור, המכונה גם בשם 'אינטרוול האפס', הוא האינטרוול בין שני מאורעות שהמרווח המרחבי ביניהם שווה למרווח הזמנים ביניהם - כלומר, אינטרוול שערכו הוא אפס. אינטרוול דמוי-אור מתאר אירועים המתרחשים לאורך מסלול של קרן אור, ומכאן שמו.
קווי עולם ששיפועם 1 מתאפייניםיתאפיינו באינטרוול דמוי-אור, ונקראים 'קווים דמויי-אור'. קווי עולם שכאלה יכולים לתאר את תנועתו של גוף הנע במהירות האור - פולס אור.

בעבורעבור אירוע מוצא המשמש כראשית, אוסף כל האירועים שהאינטרוול בינם לבין אירוע המוצא הוא דמוי-אור מגדיר שני חרוטים (ארבעה-מימדיים, ולא תלת-מימדיים כפי שהם מוצגים באיור) במרחב-זמן: כלל האירועים ''המאוחרים'' לאירוע המוצא מהווים את פני השטח של חרוט האור העתידי - אלו הם מסלולי ההתפשטות האפשריים של הבזק אור מנקודת המוצא (הראשית); וכלל האירועים ''שקדמו'' לאירוע המוצא פורשים את פני השטח של חרוט העבר - אלו הם המקורות האפשריים לאירוע המוצא. {{ש}}

חרוטים אלו נקראים '[[קונוס אור|חרוטי האור]]', או 'חרוטי האפס', והם משמשיםומשמשים להמחשת הקשרים האפשריים בין מאורעות במרחב-זמן: כלל המסלולים העולמיים האפשריים של גופים חומריים, הקשורים בראשית, הם דמויי-זמן ונמצאים '''בתוך''' חרוטי האור (ולא על שפתם). חרוט העבר מכיל את כלל האירועים שעשויים היו להשפיע על האירוע המתרחש בראשית, וחרוט העתיד מכיל את כלל האירועים שעשויים להתרחש בהשפעת האירוע הראשיתי.
מסלולים המצויים מחוץ לחרוטי האור, הם דמויי-מרחב, ועל כן אינם יכולים לייצג מסלולים סיבתיים, לא של השפעה חומרית וגם לא של אנרגיית אור.

ריבוע האינטרוול <math> \Delta S^2 </math> הוא גודל אינוואריאנטי המאפיין ומייצג את המטריקה של המרחב-זמן. בשונה מריבוע האורך ב[[מרחב אוקלידי]] שטוח, החיובי תמיד, אינוואריאנט זה יכול להיותלהתאפס גםוגם לקבל ערכים אפסחיובים או שלילישליליים. ערכו של ריבוע אינטוול מסוים נשמר בכל מערכות הייחוס, אך ביטויו משתנה ממערכת למערכת. עם זאת, ניתן לבנות באמצעותו את הכלי המתמטי המכונה [[הטנזור המטרי]], אשר משמש לתרגום מערכים שלמערכי גדלים ממערכת קואורדינטות אחת לאחרת, ולהגדרת המכפלה הסקלרית של וקטורים ארבעה-ממדיים במרחב-זמן עליו הוא מתייחס{{הערה| הטנזור המטרי מעניק למרחקים ולגדלים הפיזיקליים משמעות. הוא אשר קובע את יחסי המרחק במרחב עליו הוא מתייחס ומגדירו כ[[מרחב מטרי]]. ראו, שחר דולב, '''על כבידה וקוונטים''', [[גלילאו]] 56, אפריל 2003}}. בניית הטנזור המטרי נעשית על ידי ביטוי רכיבי ריבוע האינטרוול בצורה כללית, בה משמשים המקדמים המשתנים (התלויים) ואיבר הבסיס המשותף, בו הללו מוכפלים - הוא הטנזור המטרי. מטבעו, הטנזור המטרי הוא מאפיין כללי של מערכת הקואורדינטות אליה הוא משויך, וקשור באופן מהותי לתכונות המרחב שזו מייצגת (מטריקה מגדירה עקמומיות). הטנזור המטרי של מרחבים שטוחים אינו תלוי במערכת הייחוס או בתכונות לוקליות. תכונות אלו תקפות גם באשרלגבי לטנזורטנזור המטרי של המרחב-זמן השטוח של תורת היחסות הפרטית (מרחב מינקובסקי), שהוא המטריצה:

מאחר שבטבע גופים נעים בתנועה משתנה, מסתובבים, מאיצים ומאיטים ונתונים להשפעת כוחות [[כבידה]], ניתן לראות במרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית מודלמרחב מפושטתאורטי, שאינו מתאר את המרחב-זמן הכללי בו אנו חיים, ושהשימוש בו יעילויעיל רק למקרים בהם השפעת גורמים אלו זניחה. מרחב-זמן המכילהמתייחס תנועותלגורמים מואצותהשונים הללו הוא מורכב ושונה ממרחב-הזמן של תורת היחסות הפרטית. למעשה, עד לפיתוח תורת היחסות הכללית נדמה היה כי בכל הנוגע לתאוצות ולסיבובים, עקרון היחסות אינו תקף{{הערה|יובל נאמן, עמוד 28-9}}. החיפוש אחר הכללה של עקרון היחסות, לכל סוגי התנועה, הוא שהוביל את איינשטיין לפיתוח תורת היחסות הכללית. תורה זו איחדהאיגדה תופעות הקשורות בגרביטציה, במערכות ייחוס מואצות, ובתיאור גאומטרי של מרחבים עקומים{{הערה|עמוס הרפז, עמוד 68}}, וניתן לראותה כתורה שבמרכזה עומד התיאור של שינוי הגאומטריה של המרחב-זמן בהשפעת כבידה ותאוצה, כמו גם של השפעת שינויים גאומטריים אלו על התנהגותם של גופים במרחב-זמן.

כאמור, קודם לניסוח תורת היחסות הכללית, בכל הנוגע לתאוצה וכבידה, נדמה היה כי עקרון היחסות אינו פועל, ואת השינויים במרחב ובזמן המופיעים במערכות הנעות בתאוצה ביחס למערכות אחרות, או הנתונות להשפעת שדות כבידה, לא ניתן היה להסביר במסגרת תורת היחסות הפרטית. בניגודאם בהתייחס למערכות הנעות זו ביחס לזו במהירות קבועה, בהן נמצא כי אופיו של המרחב-זמן אינו משתנה, למעט זאת שצירי המערכת האחת מוטים ביחס לצירי המערכת השנייה בפסדו-סיבוב, - הריבהתבוננות שבמערכותבמערכות הנעות בתאוצה נמצא כי המרחב-זמן אינו משמר את אופיו, והמערכת המואצת אינה נוהגת כמערכת אחידה, אלא מתגלים בתוכה הבדלים בתפיסת המרחב והזמן. תופעות אלו הן שהובילו לשינוי תפיסת המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית. כדי להבין את השינויים המתחוללים במרחב-זמן בהשפעת תאוצה, ניתן להתבונן במקרה מבחן של מערכת הנעה בתאוצה רדיאלית קבועה בגודלה.

נתבונן בשתי מערכות ייחוס, מערכת נייחת ומערכת שנייה, המסתובבתהנעה סביב צירעצמה במהירות קבועה.
כדוגמה למערכת כזו ניקח דיסקה שטוחה המסתובבת ב[[מהירות זוויתית]] קבועה <math>\omega</math>. לתיאור המערכת החיצונית, שאינה קשורה לדיסקה ונמצאת במנוחה, נשתמש בקואורדינטות הקרטזיותקרטזיות <math>X, Y, Z, cT</math>; לתיאור מערכת הדיסקה נשתמש בקואורדינטות הגליליותגליליות <math>r, \theta, z, ct</math>, בהן: <math>r</math> משמש לציון מרחק של נקודה על פני הדיסקה מראשית הצירים, ו-<math>\theta </math> לציון הזווית בין היטל על ציר X של וקטור הנמצא על פני הדיסקה (במישורמישור X-Y) לציר X.

וביטויוכאשר ביטויו במערכת הדיסקה, לפי הצבת משוואות הטרנספורמציה לפרמטרים גליליים, הוא:

: <math> {\Delta S^2} = {c^2 \Delta t^2}(1-r^2 \omega^2 / c^2)- ({\Delta r^2} + r^2{\Delta \theta^2} + {\Delta z^2} + 2 \omega r^2 {\Delta \theta} {\Delta t})</math>
{{ש}}

בעבורעבור צופה ממערכת הדיסקה, כל נקודה נייחת על פני הדיסקה נמצאת במנוחה. בעבורעבור צופה מהמערכת החיצונית, שאינה קשורה לדיסקה, כל נקודה נייחת על הדיסקה נעה עם מערכת הדיסקה בתנועה סיבובית. במשוואת ריבוע האינטרוול, האיבר <math> 2 \omega r^2 {\Delta \theta} {\Delta t}</math> הוא המבטא צימוד זה בין הקואורדינטה הזוויתית ובין הזמןוהזמן{{הערה|קבוצת האיברים <math>\ ({\Delta r^2} + r^2{\Delta \theta^2} + {\Delta z^2})</math> מזוהה עם ריבוע המרחק במערכת גלילית תלת ממדית, ועל כן הרכיב שציינו הוא אשר מבטא את תוספת השינוי הזוויתי ביחס לזמן}}, תוצר המהירות הזוויתית. רכיב זה מבטא גם את ההבדלים בתפיסת מסלולי גופים בין מערכת הדיסקה לבין המערכתוהמערכת החיצונית לה, בתפיסת מסלולים של גופים. למשל, גוף הנע בקו ישר ונכנס למערכת הדיסקה ייראה לצופה החיצוני כנע בקו ישר על פני דיסקה מסתובבת, לעומת זאת עבור צופה ממערכת הדיסקה מסלול הגוף ייראה עקום{{הערה|מסלול זה נקרא גיאודזיה, ראו הסבר בהמשך}} - זאת מאחר שבעבורשעבור צופה זה, הנקודות השונות שהגוף חלף בהן, נמצאות בזמנים שונים במקומותבמיקום שוניםשונה. במערכת הדיסקה אם כן, במערכת הדיסקה, תנועת גופים תוכפף תחת אילוצי תנועת המערכת{{הערה|באופן דומה, האורך של גופים המונחים על פני הדיסקה ישתנה ביחס למערכת החיצונית, כתלות במיקומו. לדוגמה, אורכו של גוף המונח על פני הדיסקה במקביל לכיוון התנועה יתכווץ ביחס לאורכו במערכת החיצונית, כתלות במיקומו (זאת מאחר שמהירות זוויתית משמעה מהירות שונה לכל רדיוס); בעוד אורכו של גוף המונח בכיוון רדיאלי לתנועה יוותר זהה.}}.

במסגרת המכניקה הקלאסית, הוסברו השינויים בזמן ובמרחב על פני הדיסקה כתוצר פעולתם של כוחות מדומים ([[כוח צנטריפוגלי]]). במסגרת תורת היחסות, הללו מהווים תוצר של שינוי בגאומטריה של המרחב-זמן המתבטאים בשינויים במטריקה; כפי שציינו, ריבוע האינטרוול מאפיין את המטריקה של המרחב, ולכן שינוי מהותי באיבריו מעיד על שינוי המטריקה. בביטוי ריבוע אינטרוול של מערכת הדיסקה, מקדמי הדיפרנציאלים (הרווחים הקואורדינטורים) - שהם רכיבי הטנזור המטרי - אינם קבועים, אלא הם תלוייםתלויי במהירותמהירות הזוויתיתזוויתית ובמרחקומרחק. איברים אלו אמנם אינם קשורים לאלמנט האלכסוני של הטנזור המטרי של תורת היחסות הפרטית, אלא לרכיבים הנמצאים מחוץ לו, אך עדיין מהווים שינוי במבנהו, דבר המעיד על שינוי באופי המרחב-זמן של מערכת זו{{הערה|תוספת רכיבים מחוץ לאלכסון הראשי, משמעה שצירי המערכת אינם תמיד ניצבים זה לזה.}}. בעוד הטנזור המטרי של מרחב-זמן תורת היחסות הפרטית התאפיין בחוסר תלות במערכות ייחוס ובתכונות לוקליות, בטנזור המטרי המאפיין את המרחב-זמן של מערכות הנעות במהירות זוויתית, מופיעים רכיבים תלויי מקום - תכונה המאפיינת מרחבים עקומים{{הערה|עמוס הרפז, עמודים 63-5}}.

ראינו כי צירי מערכות ייחוס אינרציאליות מוטים בפסדו-סיבוב זו ביחס לזו, בזווית התואמת את יחס המהירויות ביניהן. בתאוצה ניתן להתייחסלהתבונן לתאוצהכבשינוי כאל שינוי המהירותמהירות, ומכאן שאףשתצטייר התאוצהאף נראיתהיא כסיבוב יחסי של צירי המרחב-זמן של מערכת, אלא שבמקרה זה הסיבוב הואיהווה משתנה תלוי קואורדינטות, דבר המאפיין מרחב עקום. מבחינה זו, מערכת הנעה בתאוצה ישרה דומה למערכת המסתובבת במהירות קבועה. כפי שראינו, במערכת הנעה בתאוצה רדיאלית קבועה, רכיבי הטנזור תלויים במרחק מראשית צירי המערכת ובמהירות הזוויתית - המשתנים המגדירים את התאוצה הרדיאלית (<math>a_r=\frac{v^2}{r}=\omega^2 r</math>). במערכת הנעה בתאוצה ישרה מופיעיםיופיעו מאפיינים דומים, שגםשימצאו הםגם מוצאיםהם את ביטויים בריבוע האינטרוול - כרכיבים תלויי קואורדינטות.

השפעת כבידה דומה במידה מסוימת להשפעת תאוצה, מאחר שהיא פועלת באופן דומה לכוחות המדומים המופיעים במערכות מואצות, ומקנה לגופים עליהם היא פועלת תאוצה שאינה תלויה במסתם. מדמיון זה נגזר כי השפעת כבידה על המרחב-זמן תהא דומה להשפעת תאוצה, ושאףותתבטא אף היא מתבטאת בסיבוב צירי המרחב-זמן;, אלא שהפעם, בשל חוסר אחידות שדות כבידה, כיוון ומידת הסיבוב - העקמומיות - עשויים להשתנות מאזור לאזור, וליצורבצורה עיוותיםמשמעותית ולייצר במרחב-זמן עיוותים{{הערה|יובל נאמן, עמוד 30-31}}. תורת היחסות הכללית ניבאה, שכשעיוותים אלה משתנים גם בזמן, הם מתפשטים במרחב בצורת [[גלי כבידה]]. ניבוי זה התאמת לאחרונה (2016) עם [[תגלית גלי הכבידה|הגילוי הראשון של גלי הכבידה]].

איינשטיין זיהה את הדמיון בין התופעות המתגלות במערכות מואצות ובמערכותומערכות הנתונות להשפעת כבידה, ומחקירהומחקירתו זואותו מכיוונים שונים גזר את [[עקרון השקילות#עקרון השקילות החזק|עקרון השקילות]] בין מסה אינרציאלית לבין מסהומסה גרביטציונית, הגורס כי התופעות הנצפות במערכות מואצות ואלו הנובעות משדה כבידה הומגני{{הערה|שדה מעין זה קיים בקירוב באזורים קטנים במרחב; במובן זה, עקרון השקילות הוא עקרון מקומי.}} שקולות מבחינה פיזיקלית ולא ניתן יהיה להבחין בניהן{{הערה|לפני ניסוח תורת היחסות הכללית, ניסח [[ארנסט מאך]] טענה דומה בגרסו כי הכוחות האינרציאלים וכוחות הכבידה הם שניהם סוג של אינטראקציות בין מסות.}}. רעיון זה היווה את אחד מאבני הדרך המשמעותיות בפיתוח תורת היחסות הכללית, שאיפשרו לאיינשטיין לאחדלאגד ולקשור את מכלול התופעות הקשורות באינטראקציות בין מסות ותנועת גופים ואנרגיה, לכלל תאוריה חדשה, המעמידה תיאור והגדרה פורמלית של הקשר בין המרחב-זמן לבין תנועת החומר והאנרגיה בו, התקפים לכללכלל מערכות הייחוס. התאוריה שפיתח איינשטיין מציגה גישה שונה למרחב-זמן, ובשל עיסוקה במרחבים לא הומוגניים, שעקמומיותם עשויה להשתנות בצורה דרסטית, היא מתייחסת למרחבים שרכיבי הטנזור שלהם אינם קבועים.

הרעיון המרכזי של תורת היחסות הכללית - כי הכבידה היא אינה אלא תוצר של עקמומיות ועיוותים במרחב-זמן הנוצרים בשל פיזור המסה והאנרגיה בו, וכופים אילוצים על תנועת האנרגיה והגופים בו - היווה בזמנו מהפכה בתפיסת העולם הפיזיקלית. בתפיסה החדשהזו, כבידה אינה כוח משיכה מסתורי הפועל בין מסות, כפי שגרס [[ניוטון]], אלא תכונה המושרת על המרחב-זמן, שמובנה גם רחב יותר, באשר הוא מתייחס הן לכבידה הניוטונית (השפעת האינטראקציה הסטטית בין מסות) והן להשפעהלהשפעת שלמסה תאוצה בין מערכותאינרציאלית (האינטראקציה הדינמית){{הערה|בהתאם לעקרון השקילות, כוחות הכבידה של מסות והכוחות הפועלים על גוף הנמצא במערכת מואצת, מהווים בתורת היחסות הכללית כוחות כבידה כלליים - שהם ביטוי לעקמומיות המרחב-זמן}}. יתר על כן, לפי תפיסה זו, השינויים בתכונות המרחב-זמן (באופי ובמידתומידת עקמומיותו) מאזור לאזור, הם המסבירים את התנהגותם השונה של גופים במרחב ואת האפקטים היחסותיים השונים. "המרחב והזמן", כפי שמסביר הוקינג בספרו הפופולרי [[קיצור תולדות הזמן]], "הם גורמים כמותיים דינמיים: כשגוף נע, או כשכוח פועל, הדבר משפיע על עיקום המרחב והזמן – מצד שני, מבנהו של המרחב-זמן משפיע על הדרך שבה גופים נעים וכוחות פועלים"{{הערה|הוקינג, עמוד 40}}.

לפי תורת היחסות הכללית, בהינתן האפשרות לסכםלסכום את השפעת כוחות הכבידה הכלליים, ניתן בעצם לקבוע את השדה הכבידתי הכללי של מערכת, וממנו לגזור את הגאומטריה של המרחב-זמן על התכונות שהכבידה משרה עליו; ובהינתן הגאומטריה של המרחב-זמן המוכפף לאילוצי הכבידה הכללית, ניתן לחשב את מסלולי התנועה של גופים בו. {{ש}}

תתורת{{ש}}תורת היחסות הכללית מחליפה למעשה את שדות הגרביטציה הכלליים במרחב עקום, כאשר קשר ההשפעה בין הללו הוא דו-סטרי: פילוג האנרגיה והמסה קובעים את הגאומטריה של המרחב-זמן, וזו מצידה יוצרת תנועה באנרגיה ובמסה, ועל ידי כך משנה את התפלגותם{{הערה|עמוס הרפז, עמוד 93}}.{{ש}}

{{ש}}המבנה היסודי בתורת היחסות הכללית הוא ה[[יריעה]]., הביטויכאשר שלביטוי החוקים הפיזיקליים נעשה באמצעות וקטורים וטנזורים התלויים בגאומטריה{{הערה|מעבר זה משימוש בקואורדינטות ברות החלפה, להתייחסות לגאומטריה הכללית (מכלול היחסים בין נקודות במרחב), מהווה צורה של יישום [[עקרון הקווריאנטיות]].}}. בהתייחס לגאומטריה, עקמומיות היא המאפיין המבטא את כל תכונות המרחב, את שינוי יחסי המרחק בין הנקודות במרחב, ואלו ניתנות להצגה על ידי הטנזור המטרי. לכן רכיבי הטנזור המטרי הם המשתנים בהם עוסקת תורת היחסות הכללית, כאשר ההתייחסות היא למרחב המאורעות כולו - כלומר לתכונות על פני כלל המרחב הארבעה-ממדי{{הערה|"[היריעה] היא אוסף מסודר של נקודות אך ללא מידת מרחק פנימית. המשמעות היא שניתן לומר על נקודה א' שהיא משמאל לנקודה ב', אבל אין אפשרות למדוד את המרחק ביניהן. כדי לקבל מרחב בעל משמעות פיזיקלית יש להוסיף ליריעה מידע על יחסי המרחק בין הנקודות. המבנה המתמטי הנושא מידע זה נקרא המטריקה או הטנסור המטרי." שחר דולב, '''על כבידה וקוונטים''', [[גלילאו]] 56, אפריל 2003}}.

המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית מוגדר על ידי משוואת השדה של איינשטיין. משוואה זו מבטאת את הקשר בין פילוג המסה והאנרגיה במרחב-זמן לבין רכיבי הטנזור המטרי, וצורתהותצורתה היא{{הערה|צורהתצורה זו אינה מכילה את [[הקבוע הקוסמולוגי]], <math>\Lambda</math>, שאינו תלוי בחומר אלא במרחב בלבד. התצורה המכילה את הקבוע היא: <math>R_{uv}-\frac{1}{2}g_{uv}R+g_{uv} \Lambda =\frac{8 \pi G}{c^4} T_{uv}</math>}}:

צידה השמאלי של המשוואה מתייחס לגאומטריה של המרחב - רכיבי הטנזור המטרי ונגזרותיהם -, וצידה הימני לחומר - צפיפות המסה והאנרגיה, צפיפות התנע ורכיבי טנזור המאמץ, המהווים יחדיו את טנזור המאמץ-אנרגיה{{הערה|לפיתוח המשוואה נעזר איינשטיין בתורת המשטחים של גאוס ובעבודתו של רימן בתחום. כלל משוואות תורת היחסות עושות שימוש ב[[חשבון טנזורים]] ואנליזה על יריעות}}.

מאחר שלכל טנזור ארבעה-ממדי יש 16 רכיבים (צירופי <math>u,v=1,2,3,4</math>), משוואת השדה של איינשטיין מהווה בעצם מערכת של 16 משוואות. עם זאת, בשל הסימטריות האלכסונית של הטנזורים, מערכת זואלו מצטמצמתמצטמצמות לעשר משוואות שונות.
פתרון המשוואה נותן את רכיבי הטנזור לכלעבור כל נקודה במרחב-זמן - על פני כל המרחב הארבעה- ממדי. מאחר שאלו הן משוואות דיפרנציאליות חלקיות, הכוללות מספרכמה משתנים בלתילא-תלויים, ואי-לינאריות{{הערה|דו הסיטריות של המשוואה ואופיה מייצרים אי לינאריות, שכן שינוי באגף האחד עשוי להתבטא בשינוי גדול באגף השני. למעשה המשוואה תקפה לתיאור מכלול של אפשרויות ושל מעבר בניהן.}} ממעלה שנייה -, אין להן פתרון כללי, והן פתירות רק בעבורעבור מקרים פרטיים, או מסוימים ומוגדרים. דוגמה לפתרון שכזה היא [[מטריקת שוורצשילד]] - הפתרון המדויק הראשון למשוואות, שהציעשהוצע על ידי האסטרונום [[קארל שוורצשילד]].

לפי תורת היחסות הכללית, נוכחות שלותנועת מסה ותנועתה מעוותת את המרחב-זמן ויוצרת בו עקמומיות. [[עקרון ההתמדה]] קובע, כי גופים "שואפים"ישאפו להתמיד בתנועתם, ולכן, כמנוסח ב[[החוק הראשון של ניוטון|חוק הראשון של ניוטון]], במצב של תנועה במהירות קבועה ובהיעדר השפעת כוחות נוספים, גופים נעיםינועו בקו ישר. עקרונות תנועה אלו נשמרים בתורת היחסות הכללית: גופים חופשיים נעיםינועו "תמיד בקווים ישרים במרחב-זמן ארבעה-ממדי"," אך בשל עקמומיות המרחב הםיראו נראיםלנו "כאילו הם [נעים] בקווים עקומים במרחב התלת ממדי שלנו"{{הערה|סטיבן הוקינג, 'קיצור תולדות הזמן', עמוד 37.}}{{הערה|ניתן להתבונן בהשפעת הכבידה כבעיקום של ממש במרחב-על חמישה-ממדי, או רק כבשינוי יחסי הנקודות במרחב הארבעה-ממדי.}}. לפיכך, תנועת גופים במרחב-זמן של תורת היחסות מתוארת לפיכך באמצעות מסלולים גיאודזים: קו גיאודזי או [[מסילה גאודזית]] הוא המסלול הקצר ביותר בין שתי נקודות במרחב עקום; במרחב שטוח קו גיאודזי הוא ישר, ואילו במרחבובמרחב תלת-ממדי עקום, זהו מסלול גאודזי. למשל:, על פני כדור, המסילות הגאודזיות הן המעגלים הגדולים שהרדיוס שלהם שווה לרדיוס הכדור. {{ש}}

{{ש}}לפי תורת היחסות במרחב-זמן הארבעה- ממדי, גוף "מנסה"ינסה להתמיד בתנועה ישרה, אך נתיב תנועתו מתעקםיוכפף ויתעקם בשל עקמומיות המרחב, ולכן הואוהוא נעינוע במסלול הקצר ביותר האפשרי לו - כלומר, במסילה גיאודזית. מבחינה זו, עקמומיות המרחב מייצגת למעשה את האילוצים הנכפים על גופים על ידי שדות הכבידה הכלליים{{הערה|עמוס הרפז, עמודים 91-93}}. לכן, בהינתן הגאומטריה של המרחב ועקמומיותו, ניתן לחשב את מסלולי התנועה של גופים בו. ניבויים אלו של תורת היחסות הוכחו מספרכמה שנים לאחראחר ניסוח תורת היחסות הכללית. משוואות התנועה הקו-ואריאנטיות של איינשטיין מאפשרות חישוב מסלולים שכאלה. כמשוואת השדה, גם משוואות אלו הן משוואות דיפרנציאליות סבוכות, העושות שימוש ב[[חשבון טנזורים]] ובו[[יריעה|אנליזה על יריעות]].

אופיה הכללי של תורת היחסות הכללית מאפשר להסיק מספרכמה מסקנות באשרלגבי למבנההמבנה הגאומטרי של היקום. מאחר שהידע המצוי בידנו אינו מלא, מסקנות אלואילו מוגבלות, וחלקן אינו אלא קירוב גס. איינשטיין עצמו ניסח מספרכמה מסקנות באשרלגבי לטיבוטיבו של מבנה היקום{{הערה|ראו Albert Einstein, '''Relativity: The Special and General Theory''' (1920), [http://www.bartleby.com/173/32.html chapter 32] באתר [http://www.bartleby.com/173 bartleby.com]}}. לפי איינשטיין, מכך שהכבידה משפיעה על התנהגות המרחב והזמן ויוצרתומייצרת אפקטים יחסותיים, ניתן לשלול את האפשרות שגאומטריית היקום היא אוקלידית, אך ניתן גם להניח כי באופן כללי אין היא נבדלת אלא במעט מהגאומטרייה האוקלידית, מאחר שהשפעת הכבידה (גם של מסות מסדר גודל של השמש) על מארג המרחב-זמן ניכרת רקמשמעותית בסביבה הקרובה אליה, בלבד ובאזור קטן יחסית. היקום על פילפי איינשטיין גם אינו פסאודו- אוקלידי (כמרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית), מאחר שמסות גדולות יוצרות בו עקמומויות חריגות. עללפי נתונים אלו, ועל סמך זאת שעל אף שפיזור החומר ביקום אינו אחיד, הרי שבהתבוננותבהתבוננות ביקום בקנה מידה התואם את ממדיו, נראה כי בקירוב, החומר בו מחולק בצורה הומגנית שהסטיות ממנה הן זעירות ביותר. בשל כך, לצורך התייחסות למבנה הכללי של גאומטריית היקום, ניתןנוכל להניח כי המרחב-זמן הכללי הוא [[הומוגניות (אסטרונומיה)|הומוגני]] ו[[איזוטרופיות|איזוטרופי]]. מהנחה זו משתמע כי הצפיפות הממוצעת של החומר ביקום שווה בכל אזוררגע, אך לא בהכרח קבועה בזמן{{הערה|עמוס הרפז, עמוד 147}}. על סמך נתונים והנחות אלו אפשרנוכל לקבוע כי גאומטרית המרחב-זמן הכללי (מבנה היקום) נוהגת כיריעה שעקמומיותה קבועה באופן כללי, ואשר רק באזורים פרטיים שלה מתקיימות חריגות.
מסקנה זו היא כללית ביותר ואינה מתארת את צורתו של היקום או עונה על השאלה אםהאם מבנה היקום יציב, באופיו או שהוא מתפתח, ובאיזהובאיזו אופןצורה. מראית היקום למעשה תלויה בצפיפותו.

*יקום [[ספירואיד|ספירי]] - אלפטי או כדורי - זהו יקום סגור, בו קרן אור יכולה להקיפו ולחזור לנקודת המוצא

משוואות תורת היחסות הכללית הצביעו על כך שהיקום אינו סטטי, אך עד לגילוי העדויותעדויות להתפשטות היקום, דבק איינשטיין במודל של [[תאוריית המצב היציב|יקום סטטי]] כדי להסבירשיסביר את היציבות היחסית לה אנו עדים, והוא אףואף ניסה, (ללא הצלחה), לתקן את משוואות השדה, כך שתשקפנהשישקפו מערכת כללית יציבה, באמצעות הוספת [[הקבוע הקוסמולוגי]]{{הערה|יובל נאמן, עמוד 36}}.

[[אסטרונומיה#תצפיות אסטרונומיות|תצפיות אסטרונומיות]] הוכיחו זה מכבר כי היקום מתפשט, וכי כלל הגלקסיות בו מתרחקות זו מזו בצורה ישרה, התפשטות המבוטאת ב[[חוק האבל]]. תגליות אלו ואחרות חיזקו תאוריות הטוענות ל[[התפשטות היקום]]. בהתייחס להתפשטות קיימים כמה מודלים של יקום התואמים מידע זה, שחלקם הוצעו על ידי [[אלכסנדר פרידמן]]{{הערה|עמוס הרפז, עמודים 153, 156}}:

* יקום סגור שהתפשטותו מוגבלת ונועדת לקרוס;

* יקום פתוח המתפשט לנצח;

* יקום פתוח המתפשט ל[[אינסוף]] אך במהירות יורדת והולכת, שלבסוף תיעצר ותגיעה למצב סטטי;

כל אחד מפתרונות אלו הוא תוצר של חישוב בעבורעבור צפיפות ומידת התפשטות התחלתית שונה, אך לשלושתם תכונה משותפת - כולם מצביעים על כך שהיקום מתפשט ושבעבר הרחוק המרחק בין הגלקסיות היה אפסי, ושצפיפותוצפיפות היקום ועיקום המרחב-זמן אז היו בשיעור אינסופי{{הערה| סטיבן הוקינג, עמוד 53}}. נקודת זמן זו קרויה '''המפץ הגדול''' ומציינת ייחודיות קיצונית, בה כלכלל חוקיהתאוריות הפיסיקההמדעיות המוכריםהמוכרות קורסיםקורסות. תאוריית [[המפץ הגדול]] - התאוריה המקובלתהמובילה בתחום כיום - גורסת כי היקום החל את דרכו ממצב דחוס ומכווץ מאד, בהתפשטות מהירה, כעין מפץ, שמהירותה פוחתת עם השנים ושעתידהועתידה בזמן כלשהו להתהפך ולהתחיל תהליך של התכווצות. לפי תאוריה זו, גם המרחב-זמן עצמו נוצר בעת המפץ הבראשתי{{הערה|והשווה להערתו של ה[[רמב"ם]]: "והזמן עצמו גם כן מכלל הנבראים" ([[מורה נבוכים]], חלק ב', פרק י"ג), וכוונתו שביחד עם "העולם", כלומרנוצר המרחב הפיזי, נברא גם הזמן עצמו, שעד לבריאה לא היה קיים כלל; ועל כן אין משמעות לשאלה "מה היה לפני הבריאה".}}-זמן. כמו כן, מקובלת ההשערה כי בשל עוצמת הכבידה, המרחב-זמן מתכופף סביב עצמו, ולכן היקום הוא סגור וסופי אך בה בעת חסר גבולות{{הערה| האפשרות כי המרחב והזמן עשויים להיות סופיים ובה בעת חסרי גבולות, נשענת על מיזוג תורת היחסות הכללית ו[[עקרון אי הוודאות של הייזנברג]] (מעקרונות [[תורת הקוונטים]]). סטיבן הוקינג, עמוד 52}}. אמיתות השערה זו תלויה בצפיפות היקום, ערך שאינו ודאי{{הערה|בהקשר זה, ראו למשל [[חומר אפל]]}}{{הערה|סטיבן הוקינג, עמוד 49-52}}.

מספרישנן כמה תאוריות הוצעו כדי לנסותהמנסות לאחד בין תורת הקוונטים לבין תורתותורת היחסות הכללית, ולמצוא את המבנה היסודי המעמיד תאוריה שתשמר את התכונות הקוונטיות ותספק תיאור של התנהגות חלקיקי החומר, ובה בעת תתיישב עם תורת הכבידה היחסותית. במרכז מחקר זה עומד הניסיון להציע מודל תת-קוונטי, פיזיקלי-מתמטי, הנענה להתנהגות המוכרת המדידה של החומר והאנרגיה ביקום, לפי החשיבה הפיזיקלית, ועולהועומד בקנה אחד עימה. {{ש}}
תאוריות שונות אלו, המכונות בשם הכולל [[תורת כבידה קוונטית]], נאלצות להתמודד עםלהיענות קשייםלקשיים שונים הנובעים מההתנהלות השונה של המרחב והחומר-אנרגיה, כפי שאנו מכירים אותם, ברמת המיקרו והמקרו. חלק מתאוריות הכבידה הקוונטית עוסקות בחקירת מאפייני המרחב-זמן ברמה הקטנה ביותר, המכונה [[אורך פלאנק|סקלת פלאנק]] (<math>10^{-35}</math> מטר בקירוב).{{ש}}

כלל התאוריות הקיימות מצביעות עד כה כי ברמה התת-אטומית, קורסים הגבולות וההגדרות המוכרים לנו, של ישויות ומבנים פיזיקליים שונים, מתמוססים, בהם חומר-אנרגיה ומרחב. ההתייחסות לישויות פיזיקליות אלו ואחרות ברמת המיקרו דורשת על כן העמקה במשמעותם ומעלה שאלות שונות חדשות, אודותכלגבי הרכבו של מרקם המרחב-זמן.

* לפי [[עקרון האי-ודאות]] של הייזנברג, לאלחלקיקים ניתןאלמנטריים לדעתאין אתהן מיקומםמיקום ואתוהן התנעתנע שלודאיים חלקיקים- אלמנטרייםקיימת רק תחזית ביחדסטטיסטית. גדלים אלו, לפי תורת היחסות, הם אשר קובעים את מבנה המרחב-זמן. משמעות הדבר היא כי במסגרת תורת כבידה קוונטית, מתקבלנקבל חוסר וודאות עללגבי מבנה היקום - כלומר, המרחקיםלגבי והיחסים גאומטריים במרחבהמרחב-זמן והגדרת מרחקים ויחסים גאומטריים{{הערה| אליהו עוזרר, עמוד 171}}.

* תורת הקוונטים, מעצם טבעה, עוסקת בגדלים בדידים. על כן, תורת כבידה קוונטית צריכהתצטרך על כן להתמודד עם גדלים בדידים ואולי אף עם מרחב-זמן בדיד - כלומר, מרחב שאינו רציף - ולהעמיד מודל ממנו ניתן יהיה להגיע למרחב הרציף של תורת היחסות ולמשוואות הלא-קוונטיות.

* בהתייחס לרמה התת-אטומית, השפעת המסה-אנרגיה על עקמומיות המרחב היא מזערית, דבר המקשה על שמירת עקרון תורת היחסות שלפיולפיו המרחב-זמן אינו ישות בסיסית, אלא מבנה התלוי בחומר-אנרגיה המאכלסים אותו.

בשל הבדלים אלו ואחרים, התאוריות המתייחסות למרחב-זמן הקוונטי נדרשות על פי רוב לגישה מתמטית שונה מזו המשמשת ביחסות הכללית, ועושות שימוש בגאומטריות שונות ([[גאומטריה קוונטית]]). בין תאוריות הכבידה הקוונטית המובילותהבולטות נמצאות כיום בקרב החוקרים הן [[תורת המיתרים]], ו[[כבידה קוונטית לולאתית|תורת הכבידה הקוונטית הלולאתית]]. הןהללו אינן היחידות בתחום, אך מציגות גישות שונות ביסודן להתייחסות למרחב-זמן בסקלה הקוונטית.

כל תורות המיתרים גורסות, כי בצד שלושת ממדי המרחב המוכרים לנו, קיימים ממדי מרחב נוספים, מכורבלים (קומפקטיים), ומספרכאשר מספר הממדים משתנה מתאוריה לתאוריה. באופן כללי, תורות המיתרים השונות אינן מציעות מודל של מרחב-זמן קוונטי, אלא מניחות את קיום המרחב-זמן כרקע להתרחשות התופעות ברמה הקוונטית; לתפיסתן, תנודת המיתרים או הממברנות (צורות היסוד של החלקיקים), אינה משפיעה על עקמומיות המרחב ומהווה בו רק הפרעה זניחה לגביו (ראו למשל:, [[תורת ההפרעות]]). מרחב הרקע, לפי תורות המיתרים, מתעקם רק תחת השפעת אירועים מסקלה גדולה או בהשפעת [[תורת ההפרעות|אפקטים הפרעתיים]] (אוסף גדול של מיתרים או חלקיקים ייחודיים). פתרון משוואות תורת המיתרים נעשה על כן בשני חלקים; חלק בו נכתבות משוואות תורת המיתרים המתייחסות לתנודות המיתרים, וחלק בו מטריקת המרחב מחושבת לפי משוואות תורת היחסות. בחיבור שני חלקים אלו, צירוףהנחת ה"הפרעות"ההפרעות על בתוךגבי הרקע, מתקבל הפתרון השלם{{הערה|שחר דולב, ''על כבידה וקוונטים'', גלילאו 56, אפריל 2003}}. בהנחת קיומו של מרחב-זמן המהווה רקע - כלומר, מרחב קלאסי, לא קוונטי, וקבוע מראש - בעצם מציגה תורת המיתרים סתירה לתורת היחסות הכללית, הגורסת כי המרחב-זמן מהווה ישות דינמית, שהמטריקה שלו (עקמומיותו) היא תוצר של תנועת החומר-אנרגיה{{הערה|[http://arxiv.org/pdf/gr-qc/9903045v1.pdf Carlo Rovelli ''Quantum spacetime: what do we know'', 1999, p. 8]}}. למרות זאת, תורת המתרים מרמזת כי המרחב-זמן אף הוא בדיד, כךבעצם שלמעשהכך עולהשעולה ממנה כי למיתריםלמתרים ישנם גדלי יסוד מזעריים שהם גבוליים - כלומר, בדידים{{הערה|שחר דולב, ''על כבידה וקוונטים'', גלילאו 56, אפריל 2003}}.

תורת הלולאות הקוונטיות נוקטת גישה שונה וגורסת כי יש לבצע קוונטיזציה של הכבידה באופן חסר-רקע - כלומר, לתאר את הכבידה, עיקום המרחב, כפועל יוצא של מבנה קוונטי יסודי, חסר רקע (המתקיים על יריעה עירומה){{הערה|[http://arxiv.org/pdf/gr-qc/9903045v1.pdf Carlo Rovelli ''Quantum spacetime: what do we know'', 1999, p. 8]}}. מאחר שהמטריקה - עקמומיות המרחב - מהווה חלק יסודי בחישובים של תורת השדות הקוונטיים, תורת הלולאות נדרשה לנסח מחדש את תורת השדות הקוונטיים בעבורעבור יריעה עירומה - ללא רקע.

באופן בסיסיכללי, תורת הלולאות מניחה כבסיס שהמרחב אינו רציף, ובמקוםותחת להציעהצגת פתרון למשוואות תורת היחסות הכללית לכלעבור כל נקודה ונקודה במרחב, היא מציעהמציגה פתרון רק לאורך לולאות במרחב. לפי תורת הלולאות הקוונטית, הלולאות עצמן הן הישויות היסודיות, שהיחסים ביניהןשיחסיהן קובעים את עקמומיות המרחב. המבנה המתמטי באמצעותו מיוצגות הלולאות נקרא [[רשת ספין]] - מבנה שהוצע על ידי המתמטיקאי [[רוג'ר פנרוז]], כבסיס לתאוריה של כבידה קוונטית. מבנה זה מהווה למעשה שיטה גרפית לרישום כלל המצבים הקוואנטים השונים במרחב. בתורת הלולאות, רשת הספין מורכבת מצמתים ומקשתותוקשתות, כשהצמתיםכאשר הצמתים ברשת תואמים יחידות נפח, ואילו הקשתות המחברות אותן תואמות יחידות שטח. המרחב לפי תורת הלולאות הקוונטית, המרחב מחולק ליחידות בדידות של נפח ושטח, כשרשתכאשר רשת הלולאות מהווה את המרקם הדינאמי ממנו הוא מורכב. לפי תורה זו, חלקיקים קוונטיים, או שדות אלקטרומגנטיים, יכולים להתקיים רק בצמתים, ותנועתםכאשר תנועתם במרחב מתבצעת בצעדים בדידים - מצומת לצומת, לאורך הקשתות - ובזמן בדיד. תכונות הרשת – מצבי התקשורת בין הצמתים - מגדירים את המצבים הקוונטים השונים ואת יחסיהם. בהינתן רשת ספין, ישנה אפשרות לחשב את עקמומיות המרחב, ועל כן את הכבידה שעיקום זה יוצר. שינוי במרחב, אירוע, משמעו שינוי רשת הספין. תנועת החלקיקים והשדות הקוונטים במרחב כרוכה בסחרורם; תנועה זו משנה את תכונותיהם הקוונטיות, כמו גם את הגאומטריה של המרחב - כלומר, משנה את מערך רשת הספין ואת יחסיויחסי המרחק{{הערה|שם=סמולין|[[לי סמולין]], [http://sciam.co.il/archives/5305 אטומים של מרחב וזמן], באתר סיינטיפיק אמריקן ישראל|שם=סמולין}}. בהוספת מימד הזמן - השינויים במרחב - מתקבלת תמונת המרחב-זמן, המרחב הארבע- ממדי, המבוטא באמצעות "'קצף הספין"'. מושגקצף זההספין מייצג את המעברים בהם משתנות רשתות ספין - שינוי הקישוריות של רשתות הספין המרחביות -, ומיוצג על ידי צמתים שקשתותיהם נפגשות בקצף. לשיטת תורת הלולאות, כל חתך במרחב-זמן, הוא רגע בקצף ספין, ומהווה רשת ספין. המרחב-זמן הקוונטי, לפי תורת הלולאות, הוא לפיכך לא חלק ולא רציף. זהו מבנה מורכב, שיסודותיו בדידים, המתואר באמצעות רשתות הספין וקצף הספין - מערכי רשתות הספין ודרכי שינויים{{הערה|שם=סמולין}}.

[[קטגוריה: גאומטריה]]

[[קטגוריה: מרחבים מטריים]]