קבוצת החזקה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 5:
*עבור כל קבוצה, [[הקבוצה הריקה]] מוכלת בה, וכן היא עצמה מוכלת בה, ועל כן הן איברים בקבוצת החזקה.
*ניתן להוכיח כי [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמת]] קבוצת החזקה של [[קבוצה סופית]] כלשהי <math>\ A</math> שווה ל- <math>\ 2^{|A|}</math> (שתיים עידן המלך ב[[חזקה (מתמטיקה)|חזקת]] עוצמת <math>\ A</math>), ובניסוח מתמטי: <math> \left|\mathcal{P}(A)\right|=2^{|A|}</math>. בשל תכונה זו עבור קבוצות סופיות, גם כאשר גודל הקבוצה הוא [[אינסוף|אינסופי]], נהוג לסמן את עוצמת קבוצת החזקה של <math>\ A</math> בסימון <math>\ 2^{|A|}</math>.
*קבוצת החזקה של <math>\ A</math> [[איזומורפיזם|איזומורפית]] לקבוצת ה[[פונקציה מציינת|פונקציות המציינות]]: <math>\ \lbrace 0,1 \rbrace^A = \lbrace1_x: A \to \lbrace 0,1 \rbrace|x \sube A\rbrace</math> ולכן הסימון <math>\ 2^{|A|}</math> לעוצמת קבוצת החזקה עקבי עם כללי האריתמטיקה של עוצמות (שלפיהם <math>\ 2^{|A|}=|\lbrace 0,1 \rbrace^A|</math>)
*[[משפט קנטור (לקבוצת החזקה)|משפט קנטור]] מראה כי [[אי-שוויון (מתמטיקה)|אי השוויון]] <math> \left|\mathcal{P}(A)\right|>|A|</math> שפשוט יחסית להוכיחו לקבוצות סופיות, נכון '''לכל''' קבוצה <math>\ A</math>.
| |||