הצגה ליניארית – הבדלי גרסאות

ב[[תורת החבורות]], '''הצגה לינאריתליניארית''' היא [[הצגה (מתמטיקה)|הצגה]] של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] נתונה כחבורת מטריצות (או, באופן כללי יותר, כחבורה של העתקות הפיכות של [[מרחב הילברט]]), באמצעות [[הומומורפיזם]] מן החבורה לחבורת ה[[העתקה לינאריתליניארית|העתקות הלינאריותהליניאריות]] של [[מרחב וקטורי]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] כלשהו. את '''תורת ההצגות''', העוסקת בהצגות לינאריותליניאריות, פיתח [[פרדיננד גאורג פרובניוס]] בסוף [[המאה ה-19]], והיא הפכה להיות ענף מרכזי בתורת החבורות, בעל יישומים רבים במתמטיקה ומחוץ לה.

חבורה שיש לה '''הצגה נאמנה''' (כזו שבה ההעתקה מן החבורה אל ההעתקות הלינאריותהליניאריות אינה מאבדת מידע) נקראת [[חבורה לינאריתליניארית]].

באופן פורמלי, הצגה היא הומומורפיזם <math>\ G \rightarrow \operatorname{GL}(V)</math>, כאשר G היא החבורה הנתונה, V הוא מרחב וקטורי מעל שדה F, ו- <math>\ \operatorname{GL}(V)</math> היא חבורת ה[[העתקה לינאריתליניארית|העתקות הלינאריותהליניאריות]] ההפיכות של המרחב. כאשר V הוא מרחב מ[[ממד (אלגברה לינאריתליניארית)|ממד]] סופי n, אפשר לזהות חבורה זו עם [[חבורת המטריצות ההפיכות]] <math>\ \operatorname{GL}_n(F)</math>. במקרה זה n נקרא '''ממד ההצגה'''.

מהצגה נתונה אפשר ליצור '''הצגות שקולות''', על ידי [[הצמדה (תורת החבורות)|הצמדה]] בהעתקה לינאריתליניארית קבועה; דהיינו, אם <math>\ \pi : G \rightarrow \operatorname{GL}(V)</math> היא הומומורפיזם ו-A העתקה הפיכה, אז גם הפונקציה <math>\ g \mapsto A \pi(g) A^{-1}</math> היא הצגה, השקולה להצגה המקורית.

כאשר נתונות שתי הצגות, על מרחבים V ו-W, אפשר ליצור מהן הצגה חדשה, על ה[[סכום ישר|סכום הישר]] <math>\ V \oplus W</math>, בדרך של בניית מטריצות בלוקים: <math>\ g \mapsto \left (\begin{array}{cc} \pi_1(g) & 0 \\ 0 & \pi_2(g)\end{array}\right)</math>. הצגה כזו, וכל הצגה שקולה לה, נקראת '''הצגה פרידה'''. הצגה שלא ניתן להפריד (על ידי הצמדה) באופן כזה, נקראת '''הצגה אי-פרידה'''.

אם <math>\ \pi : G \rightarrow \operatorname{GL}_n(F)</math> היא הצגה ממימד סופי, אז הפונקציה <math>\ \chi(g) = \operatorname{tr}(\pi(g))</math> המוגדרת לפי חישוב ה[[עקבה (אלגברה לינאריתליניארית)|עקבה]] של המטריצות המתקבלות מן ההצגה, היא ה'''[[קרקטר (תורת החבורות)|קרקטר]]''' (character) של ההצגה. העקבה אינה משתנה בהצמדה, ולכן להצגות שקולות יש אותה עקבה. הקרקטר של '''הצגה חד-ממדית''' שווה להצגה עצמה.

בחבורה סופית (ובאופן כללי יותר, גם ב[[חבורה קומפקטית]]), גם ההפך נכון: מן הקרקטר של הצגה, אפשר לשחזר את ההצגה כולה ([[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] שקילות).

יש התאמה מלאה בין הצגות של חבורה <math>G</math> אל מרחבים וקטוריים מעל לשדה <math>F</math> לבין [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]] מעל [[אלגברת חבורה|אלגברת החבורה]] <math>F[G]</math>, הנתונה על ידי הגדרת הפעולה <math>g \cdot v = \rho (g) (v)</math>. לכן יש גם התאמה אל ה[[הצגה (אלגברה)|הצגות]] של אלגברת החבורה. תחת התאמה זו, הצגות [[הצמדה (תורת החבורות)|צמודות]] עוברות אל מודולים איזומורפיים, סכום של העתקות עובר אל [[סכום ישר]] של מודולים, וההצגה הרגולרית (השיכון בעזרת חבורת הסימטריה) עוברת אל <math>F[G]</math> כמודול מעל עצמו.

לפי [[משפט משקה]], אם <math>G</math> חבורה סופית שהסדר שלה זר ל[[מאפיין של שדה|מאפיין]] <math>\operatorname{char}(F)</math>, אז אלגברת החבורה היא [[חוג פשוט למחצה|פשוטה למחצה]], הדבר מבטיח שכל הצגה של <math>G</math> תהיה ניתנת לפירוק כסכום ישר של הצגות אי-פריקות.

כל הצגה של חבורה סופית שקולה להצגה על מרחב מממד סופי. אם G היא חבורה סופית ומתקיים תנאי משפט משקה, ניתן לרשום (לפי [[משפט ודרברן-ארטין]]) את חוג החבורה כסכום ישר של [[חוג מטריצות|אלגברות מטריצות]] מעל [[חוג עם חילוק|חוגים על חילוק]]: <math>F[G]=\overset { t }{ \underset { i=1 }{ \oplus } } {M_{n_i}(D_i)}</math>. לכל חוג מהצורה <math>M_{n_i}(D_i)</math> מודול אי פריק יחיד (אך המודולים ברכיבים השונים '''אינם''' איזומורפיים). מספר המחוברים <math>t</math> הוא מספר המודולים הפשוטים, והוא גם שווה לממד [[מרכז (אלגברה)|מרכז]] החבורה <math>Z(F[G])</math>, השווה למספר [[מחלקת צמידות|מחלקות הצמידות]] של החבורה. את הערכים של הקרקטרים השונים, המחושבים בכל מחלקות הצמידות של החבורה, אפשר לארגן במטריצה ריבועית, הנקראת '''[[טבלת קרקטרים|טבלת הקרקטרים]]''' של החבורה.