פולינום – הבדלי גרסאות

קבוצת כל הפולינומים מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> או חוג <math>\ R</math> נתון מהווה [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]], ומסומנת לרוב ב <math>\mathbb{F}[x]</math> או <math>\ R[x]</math> בהתאמה. מעל שדה, החוג מהווה [[חוג אוקלידי]]. נדון בקצת מתכונותיהן:

 

* אם <math>\ x_0</math> שורש של פולינום <math>\ p</math> (כלומר,<math>\ p(x_0)=0</math>) אזי הוא שורש של הפולינום <math>\ q=\lambda p</math> לכל סקלר <math>\ \lambda</math>. כיוון ש - <math>\ q(x)=\lambda p(x)=\lambda 0=0</math>.

* אם <math>\ x_0</math> הוא שורש של הפולינומים <math>\ p,q</math>, (כלומר, <math>\ p(x_0)=q(x_0)=0</math>) אזי הוא גם השורש של סכומם <math>\ p+q</math>, כיוון ש-<math>\ [q+p](x_0)=q(x_0)+p(x_0)=0+0=0</math>

נאמר ש-<math>\ q</math> מתחלק ב-<math>\ p</math> [[אם ורק אם]] <math>\ r=0</math>. באמצעות חילוק בשארית קל להיווכח ב[[המשפט הקטן של בזו|טענה חשובה]]: המספר <math>\ c</math> הוא שורש של הפולינום <math>\ p(x)</math> אם ורק אם הביטוי <math>\ (x - c)</math> מחלק את <math>\ p</math>.

 

 

===שדה הפונקציות הרציונליות===