משתנה מקרי – הבדלי גרסאות

ולעתיםולעיתים גם בעזרת [[פונקציית צפיפות הסתברות]] (השווה לנגזרת של פונקציית הצטברות ההסתברות בכל נקודה בה קיימת הנגזרת). במונחי [[תורת המידה]], אנו משתמשים במשתנה המקרי <math>\ X</math> כדי לדחוף ("push forward") את המידה <math>\ P</math> על <math>\ \Omega</math>, למידה <math>\ F</math> על הממשיים. מרחב ההסתברות המקורי <math>\ \Omega</math>, הוא מכשיר טכני להבטחת קיומם של משתנים מקריים, ולפעמים לבנייתם. בפועל, לעתיםלעיתים קרובות נפטרים לגמרי מהמרחב <math>\ \Omega</math>, ופשוט מגדירים מידה על הממשיים כך שמידת הישר הממשי כולו תהייה 1, כלומר עובדים עם התפלגויות במקום עם משתנים מקריים.

ההתפלגות של משתנה מקרי מאופיינת לעתיםלעיתים קרובות על ידי מספר קטן של פרמטרים, שיש להם גם משמעות מעשית. לדוגמה, לפעמים מספיק לדעת מה "הערך הממוצע" של משתנה מקרי. ערך זה מבוטא על ידי מושג ה[[תוחלת]]. יש לציין כי לא לכל משתנה מקרי קיימת תוחלת (במקרים אלה, האינטגרל המגדיר את התוחלת אינו מתכנס ובחלק מהם התוחלת נקראת אינסופית).

התוחלת היא פונקציה לינאריתליניארית, אולם <math>\ \mbox{E}f(X)</math> אינו שווה בהכרח ל-<math>\ \ f(\mbox{E}X)</math> כאשר f פונקציה כללית יותר.