בסיס (אלגברה) – הבדלי גרסאות

נוספו 40 בתים ,  לפני 4 שנים
מ
בוט החלפות: לעיתים, \1ליניארי
מ (בוט החלפות: לעיתים, \1ליניארי)
{{קואורדינטות}}
ב[[אלגברה לינאריתליניארית]] קבוצה של וקטורים ב[[מרחב וקטורי]] נקראת '''בסיס''' אם היא מקיימת כמה הגדרות שקולות. הגדרה אחת לבסיס היא [[קבוצה פורשת]] [[תלות לינאריתליניארית|בלתי תלויה לינאריתליניארית]]. הגדרה שקולה לקבוצה שהיא בסיס, היא אם אפשר להציג כל איבר של המרחב כ[[צירוף לינאריליניארי]] של הקבוצה, באופן יחיד. אפשר להגדיר בסיס גם כ[[קבוצה פורשת]] מינימלית, כלומר כזו שאם מסירים ממנה ולו וקטור אחד, היא כבר אינה פורשת; או, באופן שקול, כקבוצה [[תלות לינאריתליניארית|בלתי תלויה]] מקסימלית, כלומר כזו שאם יוסיפו לה ולו וקטור אחד היא תפסיק להיות בלתי תלויה.
 
לכל מרחב וקטורי יש בסיס, ומספר הווקטורים שבבסיס מוגדר באופן חד-משמעי, והוא נקרא '''[[ממד (אלגברה לינאריתליניארית)|ממד]]'''. לבסיסים חשיבות עקרונית באלגברה לינאריתליניארית, בכך שבסיס קובע לכל וקטור את [[וקטור קואורדינטות|וקטור הקואורדינטות]] המתאים לו. לפיכך, בחירה של בסיס מאפשרת 'לממש' עצמים מופשטים המתייחסים למרחב (כגון [[העתקה לינאריתליניארית]]) על ידי מבנים קונקרטיים (כגון [[מטריצה]]).
 
בסיס יכול להיות סופי, או אין-סופי. אם במרחב יש קבוצה פורשת סופית, אז הוא בעל בסיס סופי (ולכן גם ממד סופי). ההוכחה לכך שלכל מרחב וקטורי יש בסיס מסתמכת על [[הלמה של צורן]], וממילא תוצאה זו דורשת את [[אקסיומת הבחירה]].
 
נהוג לכנות בסיס אלגברי גם בשם '''בסיס המל''', בעיקר בהקשר של מרחב מממד אינסופי (ולעתיםולעיתים אף לא [[קבוצה בת מנייה|בר מנייה]]). בסיס שהווקטורים בו מופיעים בסדר מסוים נקרא '''בסיס סדור'''. פעמים רבות כשמתייחסים לבסיס מניחים שהוא אכן סדור בסדר שרירותי כלשהו.
 
ב[[מרחב נורמי|מרחבים נורמיים]] יש משמעות להתכנסות של טור, ואז אפשר להגדיר 'בסיס טופולוגי': זוהי קבוצת איברים שאפשר להציג כל וקטור במרחב באופן יחיד כ[[צירוף לינאריליניארי]] (לאו דווקא סופי) של איבריה. בסיס טופולוגי בדרך כלל אינו בסיס במובן הרגיל (משום שהוא אינו פורש במובן הסופי), ובסיס בדרך כלל אינו מהווה בסיס טופולוגי (משום שנוצרות בו תלויות לינאריותליניאריות במובן של טורים).
 
== משפטים מרכזיים ==
תכונה חשובה נוספת: כל קבוצה בלתי תלויה אפשר להשלים לבסיס, ובאופן דומה, מכל קבוצה פורשת סופית אפשר 'לזרוק' וקטורים עד שתהפוך להיות בסיס.
 
לבסיס יש חשיבות גם במציאת הפתרונות של [[מערכת משוואות לינאריותליניאריות]]. העמודות והשורות של [[מטריצה ריבועית]] מסדר <math>\ n\times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> מהוות בסיס למרחב <math>\ \mathbb{F}^n</math> אם ורק אם ה[[דטרמיננטה]] שלה שונה מאפס. תכונה זו נובעת מכך שלפי [[נוסחת קרמר]], באמצעות הדטרמיננטה ניתן לקבוע את ממד מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות שהמטריצה מייצגת, ולפי [[משפט קרונקר-קפלי]] ממד מרחב הפתרונות תלוי ישירות ב[[דרגה (אלגברה לינאריתליניארית)|דרגת]] מרחב העמודות. לכן עבור מרחב וקטורי מממד סופי, השימוש בדטרמיננטה היא דרך חישובית ישירה לקביעה האם קבוצה של וקטורים היא בסיס.
 
== בסיס סטנדרטי ==
 
ישנם מרחבים שהמבנה המיוחד שלהם מאפשר לבנות בסיס באופן פשוט ונוח; בסיסים כאלה נקראים בסיסים סטנדרטיים.
* הבסיס הסטנדרטי של מרחב וקטורי <math>\ F^n</math> כולל את [[וקטור יחידה|וקטורי היחידה]]: <math>\ e_1=(1,0,\dots,0),e_2=(0,1,\dots,0),\dots,e_n=(0,0,\dots,1)</math>. קל לראות כי קבוצה זו פורשת ובלתי תלויה לינאריתליניארית, מכיוון שההצגה (היחידה) של כל וקטור <math>\ a=(a_1,\dots,a_n)\isin F^n</math> היא על ידי הצירוף <math>\ \sum_{i=1}^n a_ie_i=a</math>.
* הבסיס הסטנדרטי של מרחב המטריצות <math>\ M_{n\times m}(F)</math> מורכב מ"מטריצות יחידה", שהן המטריצות <math>\ e_{ij}</math> עם אפס בכל רכיב, פרט ל-1 במקום ה- (i,j). לכן ממד מרחב המטריצות הללו הוא <math>m*n</math>. בגלל ה[[איזומורפיזם]] של מרחב המטריצות ומרחב ההעתקות הלינאריותהליניאריות, ניתן להסיק כי גם ממד של מרחב ההעתקות הלינאריותהליניאריות <math>T: F^m \to F^n</math> הוא <math>m*n</math>.
* הבסיס הסטנדרטי של מרחב הפולינומים <math>\ F_{\leq n}[x]</math> כולל את הווקטורים <math>\ \{1,x,x^2,x^3,..,x^n\}</math>.
 
* במרחב <math>\mathbb{R}^2</math> הבסיס הסטנדרטי הוא { (1,0), (0,1) } .
* במרחב <math>\mathbb{R}^2</math> הקבוצה { (1,1), (1, 1-) } היא בסיס.
* במרחב <math>\mathbb{R}^2</math> הקבוצה { (2,3) ,(1,1), (1, 1-) } איננה בסיס, זאת מאחר שכל ווקטור בה תלוי לינאריתליניארית בשניים האחרים. למעשה, '''כל''' קבוצה של 3 ווקטורים ב <math> \mathbb{R} ^2 </math> תהייה תלויה לינאריתליניארית, וזו בעצם משמעותה של הטענה כי <math> \mathbb{R} ^2 </math> הוא מרחב מממד 2.
* בכל מרחב וקטורי, כל קבוצה המכילה את ווקטור האפס אינה יכולה להיות בסיס, כי וקטור האפס תמיד ניתן לייצוג כצירוף לינאריליניארי (כשכל המקדמים הם 0) של כל קבוצה של וקטורים.
* ב[[מרחב הילברט]] <math>\ L_2[-\pi,\pi]</math> קבוצת הפונקציות <math>\left\{ \hat{e_n} = \frac{e^{inx}}{\sqrt{2 \pi}} \right\}_{n = -\infty}^{\infty}</math> מהווה [[מערכת אורתונורמלית שלמה]], שכן <math>\ \lang \hat{e_n} , \hat{e_m} \rang = \delta_{m,n}</math>. להרחבה, ראו: [[טור פורייה]].
 
----
 
{{אלגברה לינאריתליניארית}}
 
[[קטגוריה:אלגברה]]