בסיס (אלגברה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ Cat-a-lot: העברה מקטגוריה:אלגברה לינארית ל קטגוריה:אלגברה ליניארית using Cat-a-lot |
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: לעיתים, \1ליניארי |
||
שורה 1:
{{קואורדינטות}}
ב[[אלגברה
לכל מרחב וקטורי יש בסיס, ומספר הווקטורים שבבסיס מוגדר באופן חד-משמעי, והוא נקרא '''[[ממד (אלגברה
בסיס יכול להיות סופי, או אין-סופי. אם במרחב יש קבוצה פורשת סופית, אז הוא בעל בסיס סופי (ולכן גם ממד סופי). ההוכחה לכך שלכל מרחב וקטורי יש בסיס מסתמכת על [[הלמה של צורן]], וממילא תוצאה זו דורשת את [[אקסיומת הבחירה]].
נהוג לכנות בסיס אלגברי גם בשם '''בסיס המל''', בעיקר בהקשר של מרחב מממד אינסופי (
ב[[מרחב נורמי|מרחבים נורמיים]] יש משמעות להתכנסות של טור, ואז אפשר להגדיר 'בסיס טופולוגי': זוהי קבוצת איברים שאפשר להציג כל וקטור במרחב באופן יחיד כ[[צירוף
== משפטים מרכזיים ==
שורה 32:
תכונה חשובה נוספת: כל קבוצה בלתי תלויה אפשר להשלים לבסיס, ובאופן דומה, מכל קבוצה פורשת סופית אפשר 'לזרוק' וקטורים עד שתהפוך להיות בסיס.
לבסיס יש חשיבות גם במציאת הפתרונות של [[מערכת משוואות
== בסיס סטנדרטי ==
ישנם מרחבים שהמבנה המיוחד שלהם מאפשר לבנות בסיס באופן פשוט ונוח; בסיסים כאלה נקראים בסיסים סטנדרטיים.
* הבסיס הסטנדרטי של מרחב וקטורי <math>\ F^n</math> כולל את [[וקטור יחידה|וקטורי היחידה]]: <math>\ e_1=(1,0,\dots,0),e_2=(0,1,\dots,0),\dots,e_n=(0,0,\dots,1)</math>. קל לראות כי קבוצה זו פורשת ובלתי תלויה
* הבסיס הסטנדרטי של מרחב המטריצות <math>\ M_{n\times m}(F)</math> מורכב מ"מטריצות יחידה", שהן המטריצות <math>\ e_{ij}</math> עם אפס בכל רכיב, פרט ל-1 במקום ה- (i,j). לכן ממד מרחב המטריצות הללו הוא <math>m*n</math>. בגלל ה[[איזומורפיזם]] של מרחב המטריצות ומרחב ההעתקות
* הבסיס הסטנדרטי של מרחב הפולינומים <math>\ F_{\leq n}[x]</math> כולל את הווקטורים <math>\ \{1,x,x^2,x^3,..,x^n\}</math>.
שורה 45:
* במרחב <math>\mathbb{R}^2</math> הבסיס הסטנדרטי הוא { (1,0), (0,1) } .
* במרחב <math>\mathbb{R}^2</math> הקבוצה { (1,1), (1, 1-) } היא בסיס.
* במרחב <math>\mathbb{R}^2</math> הקבוצה { (2,3) ,(1,1), (1, 1-) } איננה בסיס, זאת מאחר שכל ווקטור בה תלוי
* בכל מרחב וקטורי, כל קבוצה המכילה את ווקטור האפס אינה יכולה להיות בסיס, כי וקטור האפס תמיד ניתן לייצוג כצירוף
* ב[[מרחב הילברט]] <math>\ L_2[-\pi,\pi]</math> קבוצת הפונקציות <math>\left\{ \hat{e_n} = \frac{e^{inx}}{\sqrt{2 \pi}} \right\}_{n = -\infty}^{\infty}</math> מהווה [[מערכת אורתונורמלית שלמה]], שכן <math>\ \lang \hat{e_n} , \hat{e_m} \rang = \delta_{m,n}</math>. להרחבה, ראו: [[טור פורייה]].
שורה 56:
----
{{אלגברה
[[קטגוריה:אלגברה]]
|