מטריצה – הבדלי גרסאות

נוספו 48 בתים ,  לפני 3 שנים
מ
בוט החלפות: \1ליניארי
מ (בוט החלפות: \1ליניארי)
ב[[מתמטיקה]], '''מַטְרִיצָה''' היא מערך דו-ממדי, שרכיביו הם [[סקלר (מתמטיקה)|סקלרים]], לרוב [[מערכות מספרים|מספרים]], או איברים ב[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] כללי יותר.
 
האפשרות לרכז במטריצה מידע רב ולהפעיל עליה שיטות וכלים סטנדרטיים, מוצאת למטריצות שימושים רבים. השימוש השכיח ביותר במטריצות הוא לפתרון של [[מערכת משוואות לינאריותליניאריות]] באמצעות [[דירוג מטריצות]]. מלבד זה חשיבותן העיקרית של המטריצות במתמטיקה, ובעיקר של [[מטריצה ריבועית|מטריצות ריבועיות]], נובעת מכך שניתן לייצג בעזרתן [[טרנספורמציה לינאריתליניארית|טרנספורמציות לינאריותליניאריות]], באופן כזה שפעולת ה[[כפל מטריצות|כפל]] מתאימה לפעולת ה[[הרכבת פונקציות|הרכבה]] של הטרנספורמציות. מסיבות דומות יש ל[[אלגברת מטריצות|אלגברות של מטריצות]] תפקיד מרכזי ב[[תורת החוגים]].
 
==הגדרה==
אם עבור מטריצה מתקיים <math>\ m=n</math>, כלומר מספר העמודות במטריצה שווה למספר השורות בה, המטריצה נקראת '''מטריצה ריבועית'''. במטריצה ריבועית A, האלכסון שרכיביו <math>\ A_{11},\dots,A_{nn}</math> נקרא '''האלכסון הראשי'''.
 
==מטריצה כייצוג של [[העתקה לינאריתליניארית]]==
 
אחד השימושים העיקריים למטריצות הוא ייצוג של העתקות לינאריותליניאריות בין מרחבים מממד סופי: אם קובעים [[בסיס (אלגברה)|בסיסים]] סדורים לשני מרחבים V ו-W, ניתן להתאים לכל העתקה לינאריתליניארית מ-V ל-W מטריצה יחידה, וכל מטריצה מייצגת טרנספורמציה לינאריתליניארית יחידה. התאמה חשובה זו היא [[איזומורפיזם]] בין מרחב ההעתקות הלינאריותהליניאריות למרחב המטריצות מהגודל המתאים.
 
כדי לתאר העתקה לינאריתליניארית באופן מלא, מספיק לדעת לאן היא מעבירה וקטורי בסיס של התחום. בעזרת מידע זה ותכונת הלינאריותהליניאריות של ההעתקה, ניתן לדעת לאן עובר כל וקטור, כפי שנדגים מיד.
 
נניח כי <math>\,T</math> היא העתקה לינאריתליניארית <math> \ T : V \rightarrow W </math>, ונניח גם שנתונים <math> \ B= \{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל <math> \ V</math>, ו-<math> \ C= \{w_1,...,w_m\}</math> בסיס ל <math> \ W</math> (ברור כי ממדי המרחבים הם <math>\,n</math> ו-<math>\,m</math> בהתאמה).
 
עתה, נניח כי אנו יודעים איך פועלת ההעתקה על וקטורי הבסיס <math> \ v_i </math>. משמע, אנו יודעים לייצג כל וקטור <math> \ Tv_i \in W</math> על פי הבסיס <math> \ C</math>. נכתוב זאת במפורש:
<math>\ Tv_n =a_{1,n} w_1 + a_{2,n} w_2 +...+a_{m,n}w_m </math>
 
בעזרת מידע זה בלבד, נוכל לדעת עבור כל <math>\ v \in V</math> את <math>\ Tv</math> על ידי שימוש בלינאריותבליניאריות. ניקח וקטור כלשהו <math> \ v \in V </math>, שייצוגו לפי הבסיס <math> \ B </math> הוא
 
<math> \ v = c_1 v_1 + c_2 v_2+ ... + c_n v_n </math>, נשתמש בלינאריותבליניאריות כדי לקבל
 
<math> \ Tv = T(\sum_{i=1}^n c_i v_i) = \sum_{i=1}^n c_i T(v_i) </math>
ה[[איזומורפיזם]] בין העתקות למטריצות המייצגות אותן הוא שימושי מאוד:
 
* נניח כי <math>\,T,S</math> הן העתקות לינאריותליניאריות <math> \ T,S : V \rightarrow W </math>, וכן נתונים <math> \ B </math> בסיס ל-<math> \ V</math>, ו-<math> \ C</math> בסיס ל-<math> \ W</math>, אזי <math> \ [T+S]^B_C = [T]^B_C + [S]^B_C </math>, במילים - המטריצה המייצגת את סכום ההעתקות <math>\,T</math> ו-<math>\,S</math> היא המטריצה המתקבלת מסכימת המטריצות המייצגות את <math>\,T</math> ו-<math>\,S</math>.
* <math> \ [cT]^B_C=c[T]^B_C </math>, ובמילים - המטריצה המייצגת את כפל ההעתקה <math>\,T</math> בסקלר היא המטריצה המתקבלת מכפל המטריצה המייצגת את <math>\,T</math> באותו סקלר.
* נניח כי <math>\ T,S</math> הן העתקות לינאריותליניאריות <math>\ S : V \rightarrow W </math>, <math>\ T : W \rightarrow U </math>, וכן נתונים <math>\ B </math> בסיס ל-<math>\ V</math>, <math> \ C</math> בסיס ל-<math>\ W</math>, ו-<math> \ D</math> בסיס ל-<math> \ U</math>, אזי <math> \ [T \circ S]^B_D = [T]^C_D \cdot [S]^B_C </math>, כאשר ב-<math>\ [T \circ S]^B_D</math> הכוונה היא ל[[הרכבת פונקציות|הרכבת ההעתקות]], וב-<math>\ [T]^C_D \cdot [S]^B_C</math> הכוונה היא ל[[כפל מטריצות]]. במילים - המטריצה המייצגת את הרכבת ההעתקות <math>\,T</math> ו-<math>\,S</math> היא המטריצה המתקבלת מכפל המטריצות המתאימות ל-<math>\,T</math> ו-<math>\,S</math>. למעשה, זו הסיבה ש[[כפל מטריצות]], שאינו נעשה בדרך אינטואיטיבית, הוגדר כך. מכאן מובן גם מדוע כפל מטריצות מוגדר רק אם מספר השורות של המטריצה הימנית שווה למספר העמודות של המטריצה השמאלית.
* למטריצה יש אותם [[ערך עצמי|ערכים עצמיים]], [[פולינום אופייני]], [[פולינום מינימלי]] [[דרגה (אלגברה לינאריתליניארית)|ודרגה]] כמו להעתקה שהיא מייצגת.
 
נוכח התאמה מרשימה זו, שגיאה נפוצה היא '''לזהות''' מטריצה עם העתקה לינאריתליניארית. כזכור, לכל מטריצה מתאימה העתקה לינאריתליניארית יחידה, '''רק לאחר שנבחר בסיס בתחום ובטווח'''. לפני הגדרת בסיסים אלה כל מטריצה (שאינה סקלרית) יכולה לייצג אינסוף העתקות לינאריותליניאריות, ולהפך. כמו כן, יש לשים לב כי המוסכמה היא ייצוג של טרנספורמציות הפועלות על וקטורים כמטריצות הפועלות על [[וקטור עמודה|וקטורי עמודה]] בכפל '''מימין''', אך באותה מידה ניתן היה להגדיר את ההפך - כפל משמאל. אז מטריצה מסדר <math>\ m \times n</math> הייתה מייצגת טרנספורמציה ממרחב <math>\,m</math> ממדי למרחב <math>\,n</math> ממדי והווקטורים היו [[וקטור שורה|וקטורי שורה]].
 
==מרחבי שורות, עמודות ופתרונות==
מרחב השורות של מטריצה <math>\ A</math> בגודל <math>\ m\times n</math> הוא המרחב ה[[קבוצה פורשת|נפרש]] על ידי וקטורי שורותיה (<math>\ m</math> וקטורים ב-<math>\ F^n</math>), ומרחב העמודות של מטריצה הוא המרחב הנפרש על ידי עמודותיה (<math>\ n</math> וקטורים ב- <math>\ F^m</math>).
 
דרגת שורות <math>\ A</math> היא ה[[ממד (אלגברה לינאריתליניארית)|ממד]] של מרחב שורותיה, ודרגת עמודות <math>\ A</math> היא ממד מרחב העמודות שלה בהתאם. ניתן להוכיח כי עבור כל מטריצה דרגת השורות שווה לדרגת העמודות. על כן, אומרים לרוב בפשטות '''[[דרגה (אלגברה לינאריתליניארית)|דרגת המטריצה]]'''.
 
[[מרחב הפתרונות]] של <math>A</math> הוא מרחב כל הווקטורים שפותרים את המשוואה <math>Ax=0</math>. משפט בסיסי קובע שסכום ממד מרחב הפתרונות של <math>A</math> עם הדרגה של <math>A</math> הוא מספר העמודות שלה, n.
{{ערך מורחב|מטריצה ריבועית}}
 
'''מטריצה ריבועית''' היא מטריצה שמספר העמודות שלה שווה למספר השורות. בניגוד לסתם מטריצות, המייצגות [[טרנספורמציה לינאריתליניארית|העתקות לינאריותליניאריות]] ממרחב אחד למרחב אחר, מטריצות ריבועיות יכולות לייצג העתקות ממרחב אל עצמו, ולכן האוסף <math>\ M_n(F)</math> של מטריצות ריבועיות מסדר n על n מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F, סגור ל[[כפל מטריצות|כפל]], ומהווה [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]], הקרויה [[אלגברת מטריצות|אלגברת המטריצות]].
 
הדיון במטריצות ריבועיות עשיר במיוחד, וכולל התייחסות לסוגים מיוחדים אחדים של מטריצות ריבועיות, ובהן [[מטריצת היחידה]], [[מטריצה הפיכה]], [[מטריצה סינגולרית]], [[מטריצה משוחלפת]], [[מטריצה סימטרית]], [[מטריצה אנטי-סימטרית]], [[מטריצה הרמיטית]], [[יוניטריות|מטריצה יוניטרית]], [[מטריצה נילפוטנטית]] ו[[מטריצה סטוכסטית]], וכמו כן למטריצה ריבועית מוגדרת ה[[דטרמיננטה]] שלה, שהיא כלי חשוב במספר תחומים.
{{מיזמים|ויקימילון=מטריצה}}
 
{{אלגברה לינאריתליניארית}}
 
[[קטגוריה:אלגברה ליניארית]]