דיפרנציאל (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

מהדיפרנציאביליות של הפונקציה נובע שניתן לכתוב: <math>\ f(p+\Delta p)=f(p)+D_p(\Delta p)+o(\Delta p)</math> כאשר <math>\ o</math> מסמל פונקציה המקיימת <math>\ \lim_{\Delta p \to 0} \frac{o(\Delta p)}{\Delta p}=0</math>, ו־<math>\ D_p</math> מסמל טרנספורמציה לינאריתליניארית מ־<math>\ \mathbb{R}^n</math> אל <math>\ \mathbb{R}^m</math>. הטרנספורמציה <math>\ D_p</math> תיקרא '''הדיפרנציאל''' של הפונקציה <math>\ f</math> בנקודה <math>\ p</math> ולפעמים תסומן גם כך: <math>df_p(\Delta p)</math>.

נשים לב כי הטרנספורמציה תלויה בנקודה <math>\ p</math> – בכל נקודה יש לפונקציה <math>\ f</math> קירוב לינארי שתלוי באותה נקודה, וניתן להוכיח שהדיפרנציאל הוא יחיד. כלומר לא קיימות 2 העתקות לינאריותליניאריות שמקיימות את ההגדרה הכתובה לעיל באותה נקודה.

נראה כי אם נסתכל על וקטור היחידה <math>\vec{e_i}</math> (וקטור אפסים עם 1 במקום ה-i. לדוגמה ב- <math>\mathbb{R}^4</math> מתקיים ש- <math>\vec{e_2}=(0,1,0,0)</math>) ו-<math>f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</math> דיפרנציאבילית בנקודה <math>p</math> אז <math>\forall 1\leq i\leq n :df_p(e_i)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(p)</math>. מהמשפט הזה אפשר להסיק שבאופן כללי לכל וקטור <math>\Delta p =(\Delta p_1,...,\Delta p_n)=\sum_{i=1}^n \Delta p_i \vec{e_i}</math> הדיפרנציאל, שהוא אופרטור לינאריליניארי, יהיה

מכאן שהדיפרנציאל במקרה זה <math>D_{x_0}=f'(x_0)\cdot (x-x_0)</math>. כאן הדיפרנציאל הוא "טרנספורמציה לינאריתליניארית" שמיוצגת על ידי מטריצה של איבר בודד.

מקובל לעתיםלעיתים קרובות במקרה של פונקציה סקלרית במשתנה יחיד <math>\ f</math> לסמן את הדיפרנציאל שלה בתור <math>\ df</math>. מכאן גם ניתן להבין את פשר הסימון <math>\ \frac{df}{dx}</math> שמתאר נגזרת (כלומר, את <math>\ df</math>) - אם נסתכל על <math>\ x</math>, המשתנה, כפונקציה של עצמו, הרי שהדיפרנציאל שלו בנקודה <math>\ x_0</math> הוא <math>D_{x_0}=1(x-x_0)=(x-x_0)</math>. עם זאת, רצוי לזכור שזהו עדיין סימון בלבד - דיפרנציאלים הם העתקות לינאריותליניאריות, ואין למנה שלהם משמעות מתמטית.