שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ניסוח |
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: לעיתים |
||
שורה 5:
==תכונות==
השדה הממשי הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] [[שדה סדור|סדור]]. ככזה, הוא [[שדה סדור שלם]]: לכל קבוצה לא [[הקבוצה הריקה|ריקה]] ו[[חסם מלעיל|חסומה מלעיל]] יש [[חסם עליון]] (תכונה זו מכונה
[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמת]] קבוצת המספרים הממשיים מכונה [[עוצמת הרצף]], ונהוג לסמנה בסימונים <math>|\mathbb R|</math>, <math>\aleph</math>, <math>\mathfrak c</math> או <math>\beth_1</math>. [[גאורג קנטור]] הוכיח באמצעות שיטת [[האלכסון של קנטור]] כי עוצמת הרצף גדולה מעוצמת [[מספר טבעי|קבוצת המספרים הטבעיים]] (למעשה, היא שווה לעוצמת [[קבוצת החזקה]] של המספרים הטבעיים - <math> 2^{\aleph_0}=\beth_1</math>).
==היסטוריה ובנייה==
מבחינה היסטורית, השדה הממשי הופיע אחרי שהתברר ש[[שדה המספרים הרציונליים|המספרים הרציונליים]] אינם מספיקים לצרכים [[גאומטריה|גאומטריים]], למשל בגלל שאורך האלכסון של ריבוע שאורך צלעו יחידה אחת אינו [[מספר רציונלי]] (ראה [[פיתגוראים]]). עד סוף [[המאה ה-19]] חשבו על המספרים הממשיים כאורכים של קטעים על ישר אינסופי (כלומר, הבינו את המספרים האלה כעומדים ב[[התאמה חד-חד ערכית]] עם הנקודות על הישר), ותפיסה זו עמדה ביסוד [[גאומטריה אנליטית|התיאור האלגברי של הגאומטריה]], באמצעות [[קואורדינטות קרטזיות]] (על ידי [[דקארט]]). זו גם הסיבה מדוע
יש כאן בעיה עקרונית: מצד אחד מנסים להיפטר ממספר גדול של אקסיומות גאומטריות בעזרת ביסוס אלגברי, ומצד שני, האובייקט האלגברי היסודי (השדה הממשי) מוגדר באמצעים גאומטריים. לבעיה זו נמצא פתרון משביע רצון, כאשר ב-[[1872]] פרסם [[גאורג קנטור]] מאמר שבו הגדיר את המספרים הממשיים באמצעות [[סדרת קושי|סדרות קושי]] של מספרים רציונליים; הגדרתו (השקולה) של [[ריכארד דדקינד]] את המספרים הממשיים באמצעות [[חתכי דדקינד]] פורסמה מעט מאוחר יותר באותה שנה.
| |||