מידת לבג – הבדלי גרסאות

רוב תת-הקבוצות של הישר אינן מדידות, אך בנייה מפורשת של קבוצה לא מדידה אינה פשוטה. ניתן לבנות קבוצה לא מדידה למשל על ידי הגדרת יחס שקילות על נקודות הקטע <math>\ [0,1)</math>: <math>x \sim y \Leftrightarrow x-y \in \mathbb{Q}</math>. קל לראות שהיחס <math>\sim</math> הוא [[יחס שקילות]] שמפצל את הקטע למחלקות שקילות בנות [[אלף אפס]] איברים כל אחת. נבנה קבוצה <math>\ A</math> שמורכבת מנציג אחד עבור כל מחלקת שקילות (לשם כך נדרשת [[אקסיומת הבחירה]]). כל הזזה במספר רציונלי (כאשר נתייחס לקטע כמעגל היחידה) מספקת קבוצה נוספת של נציגים שזרה לכל האחרות, ואיחוד כל ההזזות הוא בחזרה קטע היחידה. אם הקבוצה <math>\ A</math> הייתה מדידה אז גם הזזותיה היו כן, והמידה שלהן הייתה זהה לשלה. לכן, בין אם מידתה הייתה אפס ובין אם היא הייתה חיובית, הדבר עומד בסתירה לסיגמא-אדיטיביות של המידה.

 

 

את מידת לבג אפשר להכליל בקלות למרחב <math>\ \mathbb{R}^n</math> ובכך להכליל את מושג ה"היפר-נפח": [[אורך]] (n=1), [[שטח]] (n=2), ה[[נפח]] (n=3) וכו. תהליך הבניה זהה לחלוטין, רק שבמקום בקטעים משתמשים ב[[תיבה (גאומטריה)|היפר-תיבות]] ([[מכפלה קרטזית]] של קטעים עם קצוות תחתונים סגורים וקצוות עליונים פתוחים) <math>\ I_n = \prod_{k=1}^{n}{ [a_k , b_k )} </math>, ומגדירים נפח על [[חוג (מתמטיקה)|חוג]] התיבות באמצעות <math>\ v ( I_n) = \prod_{k=1}^{n}{| b_k - a_k |}</math>. מכאן, מגדירים מידה חיצונית ומצמצמים אותה על אוסף כל הקבוצות המדידות הנוצרת על ידי חוג התיבות. במקרה זה, קבוצה A נקראת מדידה רק אם לכל <math>\varepsilon > 0</math> קיימת קבוצה B בחוג התיבות כך ש <math>\ m( A \Delta B) < \varepsilon</math> כאשר <math>\Delta</math> מסמל [[הפרש סימטרי]] של קבוצות.