פונקציה אינטגרבילית בהחלט – הבדלי גרסאות

נתחיל בכך שנזכר כי מושג האינטגרציה הפשוט ביותר הוא מושג האינטגרציה עבור פונקציות פשוטות. אם <math>(X,\Sigma, \mu)</math> [[מרחב מידה]] ו- <math>\varphi(x) = \sum_{n=1}^{N}a_n\cdot\chi_{A_n}(x)</math> היא [[פונקציה פשוטה]], אז האינטגרל של הפונקציה הזו מוגדר להיות <math>\int \varphi \cdot d\mu = \sum_{n=1}^{N} a_n \cdot \mu(A_n)</math>.

בעזרת האינטגרל על הפונקציה הפשוטה אפשר להגדיר אינטגרל על פונקציה מדידה וחיובית ובכך להכליל את מושג האינטגרל. כלומר, אם <math>f: X \to [0,\infty]</math> היא [[פונקציה|העתקה]] מדידה, אז נגדיר את [[אינטגרל|האינטגרל]] שלה להיות <math>\int f\cdot d\mu = \sup_{0\leq \varphi \leq f} \int \varphi \cdot d\mu</math>, כאשר <math>\varphi</math> היא פונקציה פשוטה. מרחב הפונקציות המדידות, החיוביות והאינטגרביליות מסומן ב-<math>L^+(\mu)</math>.

נשים לב, שלכל פונקציה <math>f: X \to [-\infty,\infty]</math> מתקיים שניתן להציגה [[אריתמטיקה]] של שתי פונקציות חיוביות <math>f = f^+ - f^-</math>. כאשר, <math>f^+ :=\max (f(x), 0)</math> ו- <math>f^- :=\min (-f(x), 0)</math>. לכן נאמר ש-<math>f</math> '''אינטגרבילית,''' אם <math>\int f^+ \cdot d \mu < \infty</math> '''וגם''' <math>\int f^- \cdot d \mu < \infty</math>. נגדיר את האינטגרל להיות <math>\int f \cdot d \mu = \int f^+ \cdot d\mu + \int f^- \cdot d\mu </math>. כמו כן, מרחב הפונקציות האינטגרביליות מסומן ב-<math>L^1(\mu)</math>.