סכום ישר – הבדלי גרסאות

אם <math>\ V</math> ו- <math>\ W</math> [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]] מעל אותו [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\ F</math>, הסכום הישר שלהם הוא מרחב וקטורי חדש, <math>\ V\oplus W</math>, שאבריו הם ה[[זוג סדור|זוגות הסדורים]] <math>\ (v,w)</math> (כאשר <math>\ v\in V, w\in W</math>), עם פעולות החיבור והכפל בסקלר לפי רכיבים: <math>\ (v_1,w_1)+(v_2,w_2)=(v_1+v_2,w_1+w_2)</math>, ו- <math>\ \alpha(v,w)=(\alpha v,\alpha w)</math>. התוצאה היא מרחב וקטורי ש[[ממד (אלגברה לינאריתליניארית)|ממדו]] הוא סכום הממדים של <math>\ V</math> ושל <math>\ W</math>. המרחב החדש מכיל את שני המרחבים <math>\ \{(v,0) : v \in V\}, \{(0,w): w\in W\}</math>, וכל וקטור שלו אפשר להציג באופן יחיד כסכום של וקטור מן הסוג הראשון ווקטור מן הסוג השני.

סכום ישר של עותקים של החוג (כמודול מעל עצמו) נקרא [[מודול חופשי]]. מודול M הוא חופשי אם ורק אם יש לו '''בסיס''', כלומר קבוצת איברים <math>\ e_1,\dots,e_n</math> כך שכל איבר אפשר להציג באופן יחיד כצירוף לינאריליניארי <math>\ r_1e_1+\cdots+r_ne_n</math> עבור <math>\ r_1,\dots,r_n\in R</math>.

אפשר לראות כל [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] (בין אם היא [[אסוציאטיביות|אסוציאטיבית]] ובין אם [[אלגברה לא אסוציאטיבית|לאו]]) כמודול מעל חוג עם מכפלה בילינאריתביליניארית. לכן, עבור שתי אלגברות <math>\ A,B</math> מעל אותו חוג <math>. R</math> נגדיר את <math> A\oplus B</math> באותו אופן שהגדרנו את הסכום עבור שני מודולים, ואת המכפלה (<math>\ a_1,a_2\in A, b_1,b_2\in B</math>) על ידי <math>(a_1 \oplus b_1) \star (a_2 \oplus b_2 ) \equiv (a_1 \star a_2) \oplus (b_1 \star b_2)</math>.